Analyse 2 pour mathématiciens Lyon 1 (MAT1057L) : guide et exercices

Analyse 2 pour mathématiciens (MAT1057L) est l'UE qui suit Analyse 1 dans le parcours de L1 de l'Université Claude Bernard Lyon 1. Elle transforme la dérivée en outil puissant (accroissements finis, Taylor, convexité) puis introduit l'intégrale et les équations différentielles. Ce guide relie chaque point du programme à des exercices interactifs pour apprendre en pratiquant.

Ce que couvre Analyse 2 pour mathématiciens

D'après la fiche UE officielle, le programme s'ouvre sur la représentation binaire et décimale des réels (avec TP), la densité de \mathbb{Q} dans \mathbb{R} et la partie entière. Il traite ensuite la dérivabilité (dérivées à gauche et à droite, règles opératoires, caractérisation par un DL d'ordre 1), les extremums locaux, l'égalité et l'inégalité des accroissements finis, et le lien entre dérivée et monotonie.

Suivent les suites récurrentes et leur vitesse de convergence, les suites récurrentes linéaires d'ordre 2, les suites extraites, les fonctions de classe C^k, les développements limités avec Taylor-Young, la convexité, la formule de Taylor-Lagrange et la méthode de Newton. La dernière partie présente l'intégrale de Riemann (preuves reportées en Analyse 3), les primitives, l'intégration par parties, le changement de variables, les primitives de fractions rationnelles et Taylor avec reste intégral, puis les équations différentielles linéaires d'ordre 1 (variation de la constante) et d'ordre 2 à coefficients constants.

Par rapport à une séquence nord-américaine, c'est la fin d'un Calcul 1 (applications des dérivées, intégrales) et le début d'un Calcul 2 (techniques d'intégration, Taylor).

Plan des notions d'Analyse 2

Analyse 2 entre Analyse 1 et Analyse 3

Voir les guides d'Analyse 1 et d'Analyse 3.

Exemples d'exercices au niveau d'Analyse 2

1. Inégalité des accroissements finis. Sur \mathbb{R}, |\sin'(x)| = |\cos x| \leq 1, donc pour tous a, b :

2. Primitive d'une fraction rationnelle. Avec \frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} :

3. Variation de la constante. Pour y' + y = 1, la solution homogène est Ce^{-x} ; une solution particulière constante est y = 1, d'où

Comment réussir Analyse 2

• Apprenez les DL usuels et entraînez-vous à les composer : ils servent pour les limites, les extremums et l'étude asymptotique.
• Vérifiez vos primitives en dérivant, avec le formulaire à côté.
• Pratiquez les techniques d'intégration jusqu'à reconnaître la bonne au premier coup d'œil, avec la leçon Choisir une stratégie et nos exercices.
• Relisez les erreurs fréquentes en calcul, surtout les oublis de constante et les erreurs de signe.

Astuce : la méthode de Newton x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} n'est rien d'autre que l'intersection de la tangente avec l'axe des abscisses. La dessiner une fois aide à retenir la formule.