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Puissances, racines et polynômes

Dérivée de la racine cubique de x : formule et exemples

La dérivée de la racine cubique de x est 1/(3∛(x²)). Démonstrations par la puissance et la limite, tangente verticale en 0 et exemples composés.

Puissances, racines et polynômes Mis à jour Lecture : 2 min

En bref

\frac{d}{dx}\,\sqrt[3]{x} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}
Dérivée
\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} pour x \ne 0
Sous forme de puissance
\dfrac{d}{dx}\,x^{1/3} = \tfrac{1}{3}x^{-2/3}
Forme composée
\dfrac{d}{dx}\sqrt[3]{u} = \dfrac{u'}{3\sqrt[3]{u^2}}
En x = 0
Non dérivable, la tangente est verticale
Domaine de définition
Tous les réels, contrairement à \sqrt{x}
Sur cette page
  1. Courbe de ∛x et de sa dérivée
  2. Démonstration par la règle de la puissance
  3. Démonstration par la définition avec une limite
  4. Pourquoi la dérivée n'existe pas en 0
  5. Dérivation en chaîne et autres racines
  6. Erreurs fréquentes

La dérivée de \sqrt[3]{x} est \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}, pour tout x \ne 0. Écrivez la racine cubique sous la forme de la puissance x^{1/3} et la règle de la puissance fait le reste.

\frac{d}{dx}\,\sqrt[3]{x} = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}

Courbe de ∛x et de sa dérivée

Courbe de y = ∛x et de sa dérivée
La racine cubique passe par l'origine avec une tangente verticale. Sa dérivée est positive des deux côtés et s'envole près de x = 0.

Remarquez que la dérivée est la même en x = 1 et en x = -1. Comme x^2 prend la même valeur pour x et -x, la dérivée est une fonction paire.

Démonstration par la règle de la puissance

Avec la règle de la puissance pour n = \frac{1}{3} :

\frac{d}{dx}\,x^{1/3} = \frac{1}{3}x^{1/3 - 1} = \frac{1}{3}x^{-2/3}

Un exposant négatif fait passer la puissance au dénominateur, et x^{2/3} = \sqrt[3]{x^2}.

Démonstration par la définition avec une limite

Posons a = \sqrt[3]{x + h} et b = \sqrt[3]{x}. Alors a^3 - b^3 = h. L'identité a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) donne

\frac{a - b}{h} = \frac{a - b}{a^3 - b^3} = \frac{1}{a^2 + ab + b^2}

Quand h \to 0, a \to b, donc la limite vaut \frac{1}{3b^2} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}. Il faut b \ne 0, et c'est exactement pour cela que le cas x = 0 échoue.

Pourquoi la dérivée n'existe pas en 0

En x = 0, le taux d'accroissement vaut \frac{\sqrt[3]{h}}{h} = h^{-2/3}, qui tend vers +\infty des deux côtés. La courbe est continue mais a une tangente verticale : c'est un exemple classique de fonction continue mais non dérivable.

Dérivation en chaîne et autres racines

Pour la racine cubique d'une expression, la règle de dérivation en chaîne donne

\frac{d}{dx}\sqrt[3]{u} = \frac{u'}{3\sqrt[3]{u^2}}

Exemple 1. \frac{d}{dx}\sqrt[3]{5x - 1} = \frac{5}{3\sqrt[3]{(5x - 1)^2}}.

Exemple 2. \frac{d}{dx}\,6\sqrt[3]{x} = 6 \cdot \frac{1}{3}x^{-2/3} = 2x^{-2/3}.

Exemple 3. Toute racine se traite de la même façon : \frac{d}{dx}\sqrt[n]{x} = \frac{1}{n}x^{\frac{1}{n} - 1}. Pour n = 4, on obtient \frac{1}{4}x^{-3/4}.

Exemple 4 : une tangente. En x = 8, \sqrt[3]{8} = 2 et la pente vaut \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{12}. Donc \sqrt[3]{9} \approx 2 + \frac{1}{12} \approx 2.083. La valeur exacte est d'environ 2.080.

Erreurs fréquentes

  1. Écrire x^{-1/3}. Le nouvel exposant est \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}.
  2. Mal placer le 3. La réponse est \frac{1}{3}x^{-2/3}, et non 3x^{-2/3}.
  3. Croire que les x négatifs sont interdits. Les racines cubiques de nombres négatifs sont réelles, donc la dérivée existe pour tout x sauf 0.

Comparez avec la dérivée de √x, qui n'est définie que pour x > 0.

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Questions fréquentes

Quelle est la dérivée de la racine cubique de x ?
C'est \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}, ce qui revient à \frac{1}{3}x^{-2/3}.

La racine cubique de x est-elle dérivable en 0 ?
Non. La fonction est continue en 0, mais le taux d'accroissement \frac{h^{1/3}}{h} = h^{-2/3} grandit sans limite, donc la tangente à l'origine est verticale.

Quelle est la dérivée de x^(2/3) ?
D'après la règle de la puissance, \frac{2}{3}x^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}. Contrairement à x^{1/3}, elle change de signe en 0, ce qui donne un point de rebroussement.

Quelle est la dérivée de la racine cubique de (x² + 1) ?
Par la règle de dérivation en chaîne, \frac{1}{3}(x^2 + 1)^{-2/3} \cdot 2x = \frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2 + 1)^2}}.

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Autres dérivées

Dérivée de √x \frac{d}{dx}\,\sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}} La dérivée de √x est 1/(2√x). Démonstrations par la puissance et la limite, version composée pour √u, le problème en x = 0 et exemples comme √(x² + 1). Dérivée de x \frac{d}{dx}\,x = 1 La dérivée de x vaut 1. Démonstration par la limite et la règle de la puissance, puis dérivées de 5x, ax + b et de x par rapport à une autre variable. Dérivée de 1/x \frac{d}{dx}\,\frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2} La dérivée de 1/x est -1/x². Démonstration par la limite, règle de la puissance avec x⁻¹, version composée pour 1/u et exemples comme 1/(2x + 5).