Dérivée de 1/x : formule, démonstration et exemples
La dérivée de 1/x est -1/x². Démonstration par la limite, règle de la puissance avec x⁻¹, version composée pour 1/u et exemples comme 1/(2x + 5).
Puissances, racines et polynômes Mis à jour Lecture : 2 min
En bref
- Dérivée
- -\dfrac{1}{x^2} pour x \ne 0
- Sous forme de puissance
- \dfrac{d}{dx}\,x^{-1} = -x^{-2}
- Forme composée
- \dfrac{d}{dx}\,\dfrac{1}{u} = -\dfrac{u'}{u^2}
- Signe
- Toujours négative, donc \frac{1}{x} décroît de chaque côté de 0
- Version intégrale
- \int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C
Sur cette page
La dérivée de \dfrac{1}{x} est -\dfrac{1}{x^2}. Le signe moins indique que la courbe descend toujours, des deux côtés de l'asymptote verticale.
Courbe de 1/x et de sa dérivée
Près de x = 0, les branches sont presque verticales et -\frac{1}{x^2} est un nombre négatif très grand en valeur absolue. Loin de 0, la courbe s'aplatit et -\frac{1}{x^2} se rapproche de 0.
Démonstration par la définition avec une limite
On met les fractions du numérateur au même dénominateur x(x + h) :
On divise par h et on fait h \to 0 :
Démonstration par la règle de la puissance
Comme \frac{1}{x} = x^{-1}, la règle de la puissance donne -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}. La règle du quotient le confirme : \frac{0 \cdot x - 1 \cdot 1}{x^2} = -\frac{1}{x^2}.
La version composée : dérivée de 1/u
| Fonction | Intérieur u | Dérivée |
|---|---|---|
| \frac{1}{2x + 5} | 2x + 5 | -\frac{2}{(2x + 5)^2} |
| \frac{1}{x^2 + 1} | x^2 + 1 | -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} |
| \frac{1}{\sin x} | \sin x | -\frac{\cos x}{\sin^2 x} |
| \frac{1}{e^x + 1} | e^x + 1 | -\frac{e^x}{(e^x + 1)^2} |
La troisième ligne est identique à -\csc x\cot x, la dérivée de csc x.
Exemples corrigés
Exemple 1 : une somme. \frac{d}{dx}\left(x + \frac{1}{x}\right) = 1 - \frac{1}{x^2}. En résolvant l'équation où elle vaut 0, on trouve x = \pm 1, là où x + \frac{1}{x} change de sens de variation.
Exemple 2 : une tangente. En x = 2, y = \frac{1}{2} et la pente vaut -\frac{1}{4} :
Exemple 3 : dérivée seconde. \frac{d}{dx}\left(-x^{-2}\right) = 2x^{-3} = \frac{2}{x^3}. Elle est positive pour x > 0 et négative pour x < 0, donc la branche de droite est convexe et celle de gauche concave.
Erreurs fréquentes
- Répondre \ln x ou \frac{1}{x^2}. La dérivée est -\frac{1}{x^2}. La fonction \ln x est la primitive, pas la dérivée.
- Perdre le signe moins. x^{-1} fait descendre -1.
- Écrire x^0. Diminuer -1 de un donne -2, et non 0.
- Oublier u'. \frac{d}{dx}\frac{1}{3x} vaut -\frac{3}{(3x)^2} = -\frac{1}{3x^2}, et non -\frac{1}{9x^2}.
Le côté intégrale est traité sur la page intégrale de 1/x, et la courbe elle-même sur la page de la fonction inverse.
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