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Dérivées trigonométriques

Dérivée de sin 2x : formule, démonstration et exemples

La dérivée de sin 2x est 2cos 2x. Démonstration par la dérivation en chaîne, vérification avec 2 sin x cos x, règle générale pour sin(ax) et exemples.

Dérivées trigonométriques Mis à jour Lecture : 2 min

En bref

\frac{d}{dx}\,\sin 2x = 2\cos 2x
Dérivée
2\cos 2x
Règle générale
\dfrac{d}{dx}\sin(ax) = a\cos(ax)
Dérivée seconde
-4\sin 2x
Période
\pi, la moitié de la période de \sin x
Intégrale de sin 2x
\int\sin 2x\,dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + C
Sur cette page
  1. Courbe de sin 2x et de sa dérivée
  2. Démonstration par la règle de dérivation en chaîne
  3. Vérification par la formule de duplication
  4. Pourquoi le 2 sort
  5. Exemples corrigés
  6. Où la rencontrer
  7. Erreurs fréquentes

La dérivée de \sin 2x est 2\cos 2x. La règle de dérivation en chaîne fait sortir le facteur intérieur 2 devant, et l'intérieur 2x reste le même.

\frac{d}{dx}\,\sin 2x = 2\cos 2x

Courbe de sin 2x et de sa dérivée

Courbe de y = sin 2x et de sa dérivée y = 2cos 2x
\sin 2x oscille deux fois plus vite que \sin x, donc ses pentes sont deux fois plus fortes. La dérivée atteint \pm 2.

Démonstration par la règle de dérivation en chaîne

Fonction extérieure \sin u, fonction intérieure u = 2x, donc u' = 2. Avec la règle de dérivation en chaîne et la dérivée de sin x :

\frac{d}{dx}\sin(2x) = \cos(2x)\cdot 2 = 2\cos 2x

Vérification par la formule de duplication

Réécrivons \sin 2x = 2\sin x\cos x et utilisons la règle du produit :

\frac{d}{dx}(2\sin x\cos x) = 2\left(\cos x\cdot\cos x + \sin x\cdot(-\sin x)\right) = 2(\cos^2 x - \sin^2 x)

La formule de duplication \cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x transforme cela en 2\cos 2x. Deux méthodes, une seule réponse.

Pourquoi le 2 sort

Comprimer la courbe horizontalement d'un facteur 2 la rend deux fois plus raide partout. C'est ce que traduit le facteur 2 devant \cos 2x. En général :

\frac{d}{dx}\sin(ax) = a\cos(ax), \qquad \frac{d}{dx}\sin(ax + b) = a\cos(ax + b)
Fonction Dérivée
\sin 3x 3\cos 3x
\sin\frac{x}{2} \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2}
\sin(2x + 1) 2\cos(2x + 1)
\sin(\pi x) \pi\cos(\pi x)
5\sin 2x 10\cos 2x

Exemples corrigés

Exemple 1 : une valeur. En x = \frac{\pi}{6}, la pente vaut 2\cos\frac{\pi}{3} = 2\cdot\frac{1}{2} = 1.

Exemple 2 : un produit. \frac{d}{dx}(x\sin 2x) = \sin 2x + 2x\cos 2x.

Exemple 3 : dérivées successives. Chaque dérivation fait sortir un nouveau 2 : \frac{d^2}{dx^2}\sin 2x = -4\sin 2x, \frac{d^3}{dx^3}\sin 2x = -8\cos 2x, et \frac{d^4}{dx^4}\sin 2x = 16\sin 2x.

Exemple 4 : un lien avec sin²x. La dérivée de sin²x est \sin 2x. Donc \sin^2 x est une primitive de \sin 2x, tout comme -\frac{1}{2}\cos 2x. Elles diffèrent d'une constante, puisque \sin^2 x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x.

Où la rencontrer

La fonction \sin 2x apparaît chaque fois qu'une onde se répète deux fois plus souvent que \sin x. Elle apparaît aussi comme réponse simplifiée, par exemple comme dérivée de \sin^2 x, donc connaître sa propre dérivée fait gagner du temps sur les dérivées secondes. En physique, \sin 2\theta apparaît dans la portée d'un projectile, et sa dérivée indique comment la portée varie quand on modifie l'angle de tir.

Erreurs fréquentes

  1. Oublier le 2. \frac{d}{dx}\sin 2x n'est pas \cos 2x.
  2. Modifier l'intérieur. La réponse est 2\cos 2x, et non 2\cos x.
  3. Diviser au lieu de multiplier. Le \frac{1}{2} apparaît quand on intègre, pas quand on dérive. Voir l'intégrale de sin 2x.
  4. Confondre \sin 2x et 2\sin x. \frac{d}{dx}(2\sin x) = 2\cos x. Les courbes sont différentes.

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Questions fréquentes

Quelle est la dérivée de sin 2x ?
C'est 2\cos 2x, d'après la règle de dérivation en chaîne.

Pourquoi la dérivée de sin 2x n'est-elle pas cos 2x ?
À cause de la règle de dérivation en chaîne. L'intérieur 2x a pour dérivée 2, et il faut multiplier par ce facteur.

Quelle est la dérivée de 2 sin x cos x ?
C'est 2\cos 2x, puisque 2\sin x\cos x = \sin 2x. La règle du produit donne 2(\cos^2 x - \sin^2 x), ce qui revient au même.

Quelle est la dérivée de sin(2x + 1) ?
C'est 2\cos(2x + 1). La constante 1 ne change pas la dérivée intérieure.

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