Dérivée de cos x : formule, démonstration et exemples
La dérivée de cos x est -sin x. Démonstration par la limite, preuve rapide à partir de sin x, version composée pour cos(u) et exemples comme cos(5x).
Dérivées trigonométriques Mis à jour Lecture : 2 min
En bref
- Dérivée
- -\sin x pour tout réel x
- Forme composée
- \dfrac{d}{dx}\cos u = -\sin u \cdot u'
- Dérivée seconde
- -\cos x
- Unités
- x doit être en radians
- Version intégrale
- \int \cos x\,dx = \sin x + C
Sur cette page
La dérivée de \cos x est -\sin x. Le cosinus part de son maximum en x = 0 puis descend, donc sa pente pour de petits x positifs est négative, ce qui correspond à -\sin x < 0.
Courbe de cos x et de sa dérivée
Démonstration par la définition avec une limite
La formule d'addition donne \cos(x + h) = \cos x\cos h - \sin x\sin h. Donc
Avec \frac{\cos h - 1}{h} \to 0 et \frac{\sin h}{h} \to 1 :
Une démonstration plus rapide à partir de sin x
Écrivons \cos x = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right). Alors, avec la règle de dérivation en chaîne et la dérivée de sin x :
en utilisant \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x. C'est le -1 venant de l'intérieur qui produit le signe moins.
La version composée : dérivée de cos(u)
| Fonction | Intérieur u | Dérivée |
|---|---|---|
| \cos(5x) | 5x | -5\sin(5x) |
| \cos(x^3) | x^3 | -3x^2\sin(x^3) |
| \cos(1 - x) | 1 - x | \sin(1 - x) |
| \cos(\ln x) | \ln x | -\frac{\sin(\ln x)}{x} |
Dans la troisième ligne, les deux signes moins se compensent.
Exemples corrigés
Exemple 1 : un produit. \frac{d}{dx}\left(e^x\cos x\right) = e^x\cos x - e^x\sin x = e^x(\cos x - \sin x), d'après la règle du produit.
Exemple 2 : un quotient. \frac{d}{dx}\frac{\cos x}{x} = \frac{-x\sin x - \cos x}{x^2}, d'après la règle du quotient.
Exemple 3 : un mouvement. La position d'un ressort est s(t) = 4\cos(2t). Sa vitesse est v(t) = -8\sin(2t) et son accélération a(t) = -16\cos(2t) = -4s(t). L'accélération est toujours dirigée vers le centre.
Exemple 4 : une tangente horizontale. \frac{d}{dx}(x + 2\cos x) = 1 - 2\sin x. Elle vaut 0 quand \sin x = \frac{1}{2}, donc en x = \frac{\pi}{6} et x = \frac{5\pi}{6} dans [0, 2\pi).
Comment retenir le signe
Pensez au cercle trigonométrique. Le cosinus est l'abscisse du point. Quand l'angle augmente à partir de 0, le point monte et se déplace vers la gauche, donc l'abscisse diminue. Une grandeur qui diminue a un taux de variation négatif, et c'est pour cela que la dérivée est -\sin x et non +\sin x.
Erreurs fréquentes
- Oublier le signe moins. C'est l'erreur la plus fréquente sur les dérivées trigonométriques. Retenez : les fonctions en « co » prennent un moins.
- Se perdre avec deux signes moins. \frac{d}{dx}(-\cos x) = \sin x, positif.
- Oublier u'. \frac{d}{dx}\cos(4x) = -4\sin(4x), et non -\sin(4x).
Le sens inverse est traité sur la page intégrale de cos x. La page de la fonction cosinus présente sa courbe et ses valeurs remarquables.
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