Dérivée de sin²x : formule, démonstration et exemples
La dérivée de sin²x est 2 sin x cos x, soit sin 2x. Démonstration par la dérivation en chaîne, vérification par la formule de duplication et exemples.
Dérivées trigonométriques Mis à jour Lecture : 2 min
En bref
- Dérivée
- 2\sin x\cos x
- Forme simplifiée
- \sin 2x
- Forme composée
- \dfrac{d}{dx}\sin^2 u = 2\sin u\cos u\cdot u'
- À ne pas confondre avec
- \sin(x^2), dont la dérivée est 2x\cos(x^2)
- Intégrale de sin²x
- \int\sin^2 x\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C
Sur cette page
La dérivée de \sin^2 x est 2\sin x\cos x, que la formule de duplication raccourcit en \sin 2x.
Courbe de sin²x et de sa dérivée
Démonstration par la règle de dérivation en chaîne
La notation \sin^2 x signifie (\sin x)^2. À l'extérieur, le carré ; à l'intérieur, \sin x. La règle de dérivation en chaîne donne
La formule de duplication \sin 2x = 2\sin x\cos x permet de l'écrire \sin 2x.
Vérification par la formule de duplication
On réécrit d'abord avec \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} :
Même réponse, sans dériver de carré. Cette formule de linéarisation sert aussi à l'intégrer, voir l'intégrale de sin²x.
Vérification par la règle du produit
Écrivons \sin^2 x = \sin x\cdot\sin x et utilisons la règle du produit : \cos x\sin x + \sin x\cos x = 2\sin x\cos x.
Variantes composées
| Fonction | Dérivée | Forme simplifiée |
|---|---|---|
| \sin^2(3x) | 6\sin 3x\cos 3x | 3\sin 6x |
| \sin^2(x^2) | 4x\sin(x^2)\cos(x^2) | 2x\sin(2x^2) |
| \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) | \sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} | \frac{1}{2}\sin x |
Exemples corrigés
Exemple 1 : une puissance plus élevée. \frac{d}{dx}\sin^3 x = 3\sin^2 x\cos x.
Exemple 2 : une valeur. En x = \frac{\pi}{4}, la pente vaut \sin\frac{\pi}{2} = 1. C'est le point où \sin^2 x est la plus raide.
Exemple 3 : pente maximale. La dérivée \sin 2x vaut au plus 1, donc \sin^2 x ne monte jamais avec une pente supérieure à 1, la même vitesse maximale que \sin x.
Exemple 4 : dérivée seconde. \frac{d}{dx}\sin 2x = 2\cos 2x, donc \sin^2 x est convexe là où \cos 2x > 0, par exemple sur \left(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right).
Pourquoi la réponse est de période π
La fonction \sin^2 x n'est jamais négative, donc sa courbe se répète tous les \pi au lieu de tous les 2\pi. La dérivée \sin 2x est elle aussi de période \pi, ce qui est une bonne vérification de cohérence : une fonction et sa dérivée doivent se répéter ensemble. Si votre réponse était de période 2\pi, comme 2\cos x, il y a une erreur. Comparer les périodes permet de repérer une faute sans refaire tout le calcul.
Erreurs fréquentes
- Répondre \cos^2 x. Élever la dérivée au carré, ce n'est pas la règle de dérivation en chaîne.
- Répondre 2\cos x. La dérivée du carré donne 2\sin x, puis on multiplie par \cos x.
- Confondre \sin^2 x et \sin(x^2). Voir la dérivée de sin(x²) : 2x\cos(x^2).
La version avec le cosinus est sur la page dérivée de cos²x, et le résultat \sin 2x a sa propre page dérivée de sin 2x.
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