Dérivée de xeˣ : formule, étapes et exemples

La dérivée de xe^x est e^x(x + 1). C'est un produit de x et de e^x, donc l'outil à utiliser est la règle du produit.

Étape par étape avec la règle du produit

Avec f = x et g = e^x, la règle du produit (fg)' = f'g + fg' donne :

1. f' = 1.
2. g' = e^x, puisque la dérivée de eˣ est elle-même.
3. On combine : 1\cdot e^x + x\cdot e^x = e^x + xe^x.
4. On factorise par e^x : e^x(x + 1).

La forme factorisée est plus utile. Comme e^x ne s'annule jamais, la dérivée n'est nulle que là où x + 1 = 0.

Courbe de xeˣ et de sa dérivée

Minimum et point d'inflexion

Minimum. La dérivée e^x(x + 1) est négative pour x < -1 et positive pour x > -1. Donc x = -1 est un minimum, de valeur

Point d'inflexion. La dérivée seconde vaut

Elle change de signe en x = -2, donc la courbe passe de concave à convexe en ce point. Le point est \left(-2, -\frac{2}{e^2}\right) \approx (-2, -0.271).

La formule de la dérivée n-ième

Chaque fois qu'on dérive e^x(x + k), on obtient e^x(x + k) + e^x = e^x(x + k + 1). Donc :

Exemples corrigés

Exemple 1 : version décroissante. Pour f(x) = xe^{-x}, on applique la règle de dérivation en chaîne à e^{-x} (voir e^(−x)) :

Cette fois, le point critique est un maximum en x = 1.

Exemple 2 : une puissance plus grande. Pour g(x) = x^2e^x,

Les points critiques sont en x = 0 et x = -2.

Exemple 3 : un exposant multiplié. Pour h(x) = xe^{3x},

Exemple 4 : une tangente. En x = 0, xe^x = 0 et la pente vaut e^0(0 + 1) = 1. La tangente est y = x.

Erreurs fréquentes

1. Multiplier les deux dérivées. 1\cdot e^x = e^x n'est pas la règle du produit ; cela fait disparaître le terme xe^x.
2. Donner xe^x comme réponse. La dérivée de e^x est e^x, mais le produit avec x demande quand même la règle du produit.
3. Ne pas factoriser. Laisser e^x + xe^x est correct, mais factoriser rend la recherche des points critiques bien plus facile.

Dans l'autre sens, \int xe^x\,dx = e^x(x - 1) + C par intégration par parties ; voir l'intégrale de xeˣ. Vérification : \frac{d}{dx}e^x(x - 1) = e^x(x - 1) + e^x = xe^x. Entraînez-vous avec les exercices sur les règles du produit et du quotient.