Dérivée de e^(−x) : formule, étapes et exemples
La dérivée de e^(−x) est −e^(−x). Étapes de la dérivation en chaîne, vérification par le quotient, dérivées successives, courbe et exemples comme xe^(−x).
Dérivées exponentielles et logarithmiques Mis à jour Lecture : 2 min
En bref
- Dérivée
- -e^{-x}
- Dérivée seconde
- e^{-x}
- Dérivée n-ième
- (-1)^n e^{-x}
- Même fonction que
- \dfrac{1}{e^x}
- Version intégrale
- \int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C
Sur cette page
La dérivée de e^{-x} est -e^{-x}. L'exponentielle reste la même, et la dérivée de l'exposant -x, qui vaut -1, place un signe moins devant.
Étape par étape avec la règle de dérivation en chaîne
Voyons e^{-x} comme e^u avec u = -x. La règle de dérivation en chaîne donne
L'étape extérieure utilise le fait que la dérivée de eˣ est e^x.
Vérification par la règle du quotient
Comme e^{-x} = \frac{1}{e^x}, la règle du quotient doit donner le même résultat :
Même réponse, avec plus de travail. La dérivation en chaîne est la voie rapide.
Courbe de e^(−x) et de sa dérivée
La courbe de e^{-x} est celle de e^x réfléchie par rapport à l'axe des ordonnées. Cette symétrie gauche-droite transforme chaque pente montante en pente descendante, donc la dérivée est négative. Quand x \to \infty, la fonction et sa pente diminuent toutes deux vers 0. C'est l'allure de la décroissance exponentielle.
Dérivées successives
Chaque dérivation fait apparaître un nouveau -1, donc les signes alternent :
| Dérivée | Résultat |
|---|---|
| f'(x) | -e^{-x} |
| f''(x) | e^{-x} |
| f'''(x) | -e^{-x} |
| f^{(n)}(x) | (-1)^n e^{-x} |
Comme f''(x) = f(x), la fonction e^{-x} est solution de l'équation différentielle y'' = y, tout comme e^x. Et f'(x) = -f(x) signifie qu'elle diminue à un rythme égal à sa propre taille, ce qui définit la décroissance exponentielle.
Exemples corrigés
Exemple 1 : règle du produit. Pour f(x) = xe^{-x}, la règle du produit donne
Donc f est croissante pour x < 1, décroissante pour x > 1, et atteint un maximum f(1) = \frac{1}{e} \approx 0.368.
Exemple 2 : décroissance exponentielle. Une quantité A(t) = 50e^{-0.2t} varie au rythme
En t = 0, elle diminue de 10 unités par unité de temps.
Exemple 3 : une somme. Pour g(x) = e^x + e^{-x},
En divisant les deux par 2, on obtient la dérivée de cosh x, qui est \sinh x.
Erreurs fréquentes
- Oublier le signe moins. \frac{d}{dx}e^{-x} = e^{-x} est faux. La dérivée intérieure vaut -1.
- Écrire -xe^{-x - 1}. Cela applique la règle de la puissance à une exponentielle.
- Se perdre dans les signes des dérivées successives. Les dérivées d'ordre pair sont positives, celles d'ordre impair négatives.
- Se tromper de signe dans l'intégrale. \int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C, et non e^{-x} + C. Voir l'intégrale de e^(−x).
Pour vous entraîner davantage à la dérivation en chaîne avec des exponentielles, essayez les dérivées des fonctions exponentielles et logarithmes.
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