Dérivée de eˣ : formule, démonstration et exemples
La dérivée de eˣ est eˣ. Démonstration par la limite, version composée pour e^u, courbe et exemples corrigés comme e^(3x) et x²eˣ.
Dérivées exponentielles et logarithmiques Mis à jour Lecture : 3 min
En bref
- Dérivée
- e^x
- Forme composée
- \dfrac{d}{dx}e^u = e^u\,u'
- Toutes les dérivées successives
- e^x
- Valeur de e
- e \approx 2.71828
- Version intégrale
- \int e^x\,dx = e^x + C
Sur cette page
La dérivée de e^x est e^x. La fonction et sa pente sont égales en tout point, ce qui fait de e^x la fonction la plus importante de l'analyse.
Courbe de eˣ
Comme e^x > 0 pour tout x, la pente est toujours positive, donc e^x est toujours croissante. Et comme la pente augmente avec la hauteur, la courbe s'incurve vers le haut de plus en plus vite.
Démonstration par la définition avec une limite
Utilisons la définition de la dérivée par une limite :
Pour toute base a, la dérivée de a^x est a^x multiplié par la constante \lim_{h \to 0}\frac{a^h - 1}{h}. Pour a = 2, cette constante vaut environ 0.693. Pour a = 3, elle vaut environ 1.099. Le nombre e \approx 2.71828 est la base pour laquelle la constante vaut exactement 1 :
On peut le vérifier numériquement : avec h = 0.001, \frac{e^{0.001} - 1}{0.001} \approx 1.0005.
Version composée : dérivée de e^u
Quand l'exposant n'est pas simplement x, on utilise la règle de dérivation en chaîne :
On recopie l'exponentielle telle quelle, puis on multiplie par la dérivée de l'exposant.
| Fonction | Exposant u | Dérivée |
|---|---|---|
| e^{3x} | 3x | 3e^{3x} |
| e^{-x} | -x | -e^{-x} |
| e^{x^2} | x^2 | 2xe^{x^2} |
| e^{\sin x} | \sin x | \cos x\,e^{\sin x} |
| e^{\sqrt{x}} | \sqrt{x} | \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} |
Certaines ont leur propre page : e^(2x), e^(−x) et e^(x²).
Exemples corrigés
Exemple 1 : règle du produit. Pour f(x) = x^2e^x, la règle du produit donne
Factoriser par e^x permet de trouver facilement où f'(x) = 0 : en x = 0 et x = -2.
Exemple 2 : règle du quotient. Pour g(x) = \frac{e^x}{x}, la règle du quotient donne
Exemple 3 : dérivées successives. Toutes les dérivées de e^x valent e^x, donc f^{(n)}(x) = e^x pour tout n. C'est pourquoi le développement de Maclaurin de e^x est 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots.
Erreurs fréquentes
- Utiliser la règle de la puissance. \frac{d}{dx}e^x \ne xe^{x - 1}. La règle de la puissance exige un exposant constant.
- Oublier le facteur de la dérivation en chaîne. \frac{d}{dx}e^{5x} = 5e^{5x}, et non e^{5x}.
- Modifier l'exposant. La dérivée de e^{x^2} garde e^{x^2} ; elle ne devient pas e^{2x}.
- Traiter e comme une variable. e est une constante, donc \frac{d}{dx}e^2 = 0 et \frac{d}{dx}x^e = ex^{e - 1}.
Le résultat inverse, \int e^x\,dx = e^x + C, est traité sur la page intégrale de eˣ. La fonction réciproque est le logarithme népérien ; voir la dérivée de ln x et la fonction exponentielle.
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