Dérivée de x ln x : formule, étapes et exemples

La dérivée de x\ln x est \ln x + 1. C'est un produit, donc la règle du produit fait tout le travail.

Étape par étape avec la règle du produit

La règle du produit dit (fg)' = f'g + fg'. Prenons f = x et g = \ln x :

1. f' = 1.
2. g' = \frac{1}{x}, d'après la dérivée de ln x.
3. On combine : 1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x} = \ln x + 1.

Le x devant se simplifie avec le \frac{1}{x} venant du logarithme, ce qui laisse une réponse nette.

Courbe de x ln x et de sa dérivée

Trouver le minimum

On annule la dérivée :

Pour x < \frac{1}{e}, la dérivée est négative, et pour x > \frac{1}{e}, elle est positive : c'est donc un minimum. Sa valeur est

La dérivée seconde le confirme : \frac{d^2}{dx^2}x\ln x = \frac{1}{x}, positive pour tout x > 0, donc la courbe est convexe partout.

Ce qui se passe près de x = 0

La courbe semble partir de l'origine, même si x\ln x n'est pas définie en 0. C'est parce que \lim_{x \to 0^+} x\ln x = 0. On l'écrit \frac{\ln x}{1/x} et on applique la règle de L'Hôpital :

Pendant ce temps, la pente \ln x + 1 tend vers -\infty, donc la courbe quitte l'origine presque verticalement.

Exemples associés

Exemple 1. \frac{d}{dx}(x\ln x - x) = \ln x + 1 - 1 = \ln x. Cela montre que x\ln x - x est une primitive de \ln x ; voir l'intégrale de ln x.

Exemple 2. \frac{d}{dx}x^2\ln x = 2x\ln x + x^2\cdot\frac{1}{x} = 2x\ln x + x = x(2\ln x + 1).

Exemple 3. \frac{d}{dx}\frac{\ln x}{x} = \frac{\frac{1}{x}\cdot x - \ln x}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}, d'après la règle du quotient. Son maximum est en x = e.

Exemple 4. \frac{d}{dx}x\ln(3x) = \ln(3x) + 1, puisque \frac{d}{dx}\ln(3x) = \frac{1}{x} aussi.

Erreurs fréquentes

1. Multiplier les dérivées. 1\cdot\frac{1}{x} = \frac{1}{x} n'est pas la règle du produit. Il faut les deux termes.
2. Oublier le domaine de définition. x\ln x n'existe que pour x > 0, donc la recherche du minimum se fait uniquement là.
3. Confondre avec x^x. \frac{d}{dx}x^x = x^x(\ln x + 1). Le facteur \ln x + 1 apparaît parce que x^x = e^{x\ln x} ; voir la dérivée de xˣ.

Dans l'autre sens, l'intégrale de x ln x se calcule par intégration par parties. Entraînez-vous davantage avec les exercices sur les règles du produit et du quotient.