Théorème des accroissements finis : exercices corrigés

Ces exercices sur le théorème des accroissements finis commencent par la recherche de la valeur de c, puis abordent le théorème de Rolle, les cas où le théorème ne s'applique pas, et les deux usages classiques : majorer une fonction et montrer qu'une équation a exactement une racine. Cherchez chaque exercice d'abord. Les réponses suivent la liste, puis viennent les solutions complètes.

Le théorème : si f est continue sur [a, b] et dérivable sur (a, b), alors pour un certain c dans (a, b),

Consultez les pages sur le théorème des accroissements finis et le théorème de Rolle pour la démonstration, ou le guide du théorème des accroissements finis pour d'autres exemples.

Exercices

Trouver c

1. f(x) = x^2 sur [1, 3]
2. f(x) = x^3 sur [0, 3]
3. f(x) = \sqrt{x} sur [0, 4]
4. f(x) = \dfrac{1}{x} sur [1, 4]
5. f(x) = \ln x sur [1, e]
6. f(x) = x^3 - 3x sur [-2, 2]

Théorème de Rolle

7. Vérifiez le théorème de Rolle pour f(x) = x^2 - 4x + 1 sur [0, 4] et trouvez c.

Le théorème s'applique-t-il ?

8. Le théorème des accroissements finis s'applique-t-il à f(x) = \dfrac{1}{x} sur [-1, 1] ?
9. Le théorème des accroissements finis s'applique-t-il à f(x) = |x| sur [-1, 2] ? Existe-t-il malgré tout un c qui convient ?

Utiliser le théorème

10. Une voiture parcourt 150 miles en 2 heures. Montrez qu'à un certain instant sa vitesse était exactement de 75 mph.
11. On suppose f(1) = 3 et f'(x) \le 5 pour tout x. Quelle est la plus grande valeur possible de f(4) ?
12. Montrez que x^3 + 2x - 1 = 0 admet exactement une solution réelle.

Réponses

Solutions détaillées

1. f est un polynôme, donc les hypothèses sont vérifiées. La pente moyenne vaut \frac{9 - 1}{3 - 1} = 4, et f'(c) = 2c :

2. La pente moyenne vaut \frac{27 - 0}{3} = 9, et f'(c) = 3c^2 :

Seul c = \sqrt{3} appartient à (0, 3).

3. \sqrt{x} est continue sur [0, 4] et dérivable sur (0, 4). Cela suffit, même si la dérivée n'existe pas en x = 0. La pente moyenne vaut \frac{2 - 0}{4} = \frac{1}{2} :

4. \frac{1}{x} ne pose aucun problème sur [1, 4] car 0 n'est pas dans l'intervalle. La pente moyenne vaut \frac{\frac{1}{4} - 1}{3} = -\frac{1}{4} :

5. La pente moyenne vaut \frac{\ln e - \ln 1}{e - 1} = \frac{1}{e - 1}, et f'(c) = \frac{1}{c} :

Cette valeur est bien comprise entre 1 et e \approx 2.718.

6. f(2) = 8 - 6 = 2 et f(-2) = -8 + 6 = -2, donc la pente moyenne vaut \frac{2 - (-2)}{4} = 1 :

Les deux valeurs sont dans (-2, 2), donc les deux conviennent. Le théorème garantit au moins un c, pas exactement un.

7. f est un polynôme, et f(0) = 1 et f(4) = 16 - 16 + 1 = 1 sont égaux, donc le théorème de Rolle s'applique. Résolvez f'(c) = 0 :

8. Non. \frac{1}{x} n'est pas définie en x = 0, qui est dans [-1, 1], donc f n'est pas continue sur l'intervalle. D'ailleurs, la pente moyenne vaut \frac{1 - (-1)}{2} = 1, mais f'(x) = -\frac{1}{x^2} est toujours négative, donc aucun c ne convient.

9. |x| est continue sur [-1, 2] mais n'est pas dérivable en x = 0, donc le théorème ne s'applique pas. La pente moyenne vaut \frac{2 - 1}{3} = \frac{1}{3}, mais f'(x) ne prend que les valeurs -1 ou 1. Aucun c ne donne \frac{1}{3}, ce qui montre l'importance de l'hypothèse de dérivabilité.

10. Soit s(t) la distance parcourue après t heures. La position est continue et dérivable, et s'(t) est la vitesse. D'après le théorème des accroissements finis, il existe un instant c dans (0, 2) tel que

11. Appliquez le théorème sur [1, 4]. Pour un certain c dans (1, 4) :

Donc f(4) \le 3 + 15 = 18. La valeur 18 est atteinte quand f'(x) = 5 partout, par exemple pour f(x) = 5x - 2.

12. Au moins une racine. Soit f(x) = x^3 + 2x - 1. Elle est continue, avec f(0) = -1 < 0 et f(1) = 2 > 0. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une racine dans (0, 1).

Au plus une racine. Supposons qu'il y ait deux racines a < b. Alors f(a) = f(b) = 0, et le théorème de Rolle donnerait un c tel que f'(c) = 0. Or f'(x) = 3x^2 + 2 \ge 2 ne vaut jamais 0. Il ne peut donc pas y avoir deux racines, et il y en a exactement une.

Erreurs fréquentes sur ces exercices

• Oublier les hypothèses. Les exercices 8 et 9 montrent que sans continuité ou dérivabilité, la conclusion peut être fausse.
• Garder un c hors de l'intervalle. Dans l'exercice 2, c = -\sqrt{3} est solution de l'équation mais n'est pas dans (0, 3).
• S'arrêter à un seul c. Dans l'exercice 6, il y a deux valeurs valables. Donnez toutes les solutions dans l'intervalle.
• Confondre taux moyen et taux instantané. Le membre de gauche du théorème est une dérivée en un point. Le membre de droite est la pente de la sécante sur tout l'intervalle.

Continuer à s'entraîner

Ces 12 exercices utilisent des nombres fixes. Pour un entraînement illimité avec de nouvelles fonctions et une correction immédiate, essayez la leçon sur l'approximation affine et les accroissements finis. Pour revoir l'hypothèse de continuité, utilisez les exercices sur la continuité, et pour une idée voisine avec les intégrales, consultez le théorème de la moyenne pour les intégrales.