Sommes de Riemann : exercices corrigés avec solutions

Ces exercices sur les sommes de Riemann portent sur les sommes à gauche, à droite, du point milieu et des trapèzes, les tableaux à pas irréguliers, les estimations par excès et par défaut, et le passage d'une limite de sommes à une intégrale. Cherchez chaque exercice d'abord. Les réponses viennent en premier, puis les solutions complètes.

La mise en place de base :

Les sommes à gauche utilisent l'extrémité gauche de chaque morceau, les sommes à droite l'extrémité droite, et les sommes du point milieu le milieu. Pour les idées sous-jacentes, lisez le guide des sommes de Riemann.

Exercices

Une fonction, quatre méthodes. Utilisez f(x) = x^2 sur [0, 2] avec n = 4.

1. Calculez la somme de Riemann à gauche L_4.
2. Calculez la somme de Riemann à droite R_4.
3. Calculez la somme du point milieu M_4.
4. Calculez la somme des trapèzes T_4, et comparez les quatre avec la valeur exacte \int_0^2 x^2\,dx = \frac{8}{3}.

Par excès ou par défaut

5. Calculez la somme à gauche L_4 pour f(x) = \frac{1}{x} sur [1, 3]. Est-ce une valeur par excès ou par défaut de \ln 3 ?
6. On mesure la vitesse d'une voiture à quelques instants :

Estimez la distance parcourue de t = 0 à t = 6 avec une somme à gauche, une somme à droite et une somme des trapèzes.

7. Pour f(x) = x^2 sur [0, 2], expliquez pourquoi M_4 < \frac{8}{3} < T_4.

Limites de sommes

8. Écrivez \displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{3}{n}\left(1 + \frac{3i}{n}\right)^2 sous forme d'intégrale définie et calculez-la.
9. Calculez la somme à droite R_n pour f(x) = x sur [0, 2] sous forme explicite, puis sa limite quand n \to \infty.
10. Estimez \int_0^{\pi}\sin x\,dx avec une somme du point milieu, n = 4.

Réponses

Solutions détaillées

1. \Delta x = \frac{2 - 0}{4} = 0.5, donc les points sont 0, 0.5, 1, 1.5, 2. La somme à gauche utilise les quatre premiers :

2. La somme à droite utilise les quatre derniers points :

3. Les milieux sont 0.25, 0.75, 1.25, 1.75. Leurs carrés sont 0.0625, 0.5625, 1.5625, 3.0625, dont la somme vaut 5.25 :

4. Avec des largeurs égales, la somme des trapèzes est la moyenne des sommes à gauche et à droite :

La valeur exacte \frac{8}{3} \approx 2.667 se situe entre M_4 et T_4. La somme du point milieu est la plus proche.

5. \Delta x = 0.5 et les points à gauche sont 1, 1.5, 2, 2.5 :

Comme \frac{1}{x} est décroissante, l'extrémité gauche de chaque morceau est le point le plus haut, donc chaque rectangle dépasse au-dessus de la courbe. C'est une valeur par excès de \ln 3 \approx 1.099.

6. Les largeurs sont 2, 3 et 1. Multipliez chaque largeur par la bonne hauteur :

• À gauche : 2(10) + 3(14) + 1(20) = 82 m
• À droite : 2(14) + 3(20) + 1(18) = 106 m
• Trapèzes : 2\cdot\frac{10+14}{2} + 3\cdot\frac{14+20}{2} + 1\cdot\frac{20+18}{2} = 24 + 51 + 19 = 94 m

7. Une courbe convexe est tournée vers le haut, donc le bord supérieur de chaque trapèze est au-dessus de la courbe et T_4 est trop grand. Chaque rectangle du point milieu a la même aire que le trapèze situé sous la tangente en ce milieu, et une courbe convexe est au-dessus de ses tangentes, donc M_4 est trop petit.

8. Identifiez \Delta x = \frac{3}{n} et x_i = 1 + \frac{3i}{n}. L'intervalle commence en 1 et a pour longueur 3, c'est donc [1, 4], et la fonction est x^2 :

9. \Delta x = \frac{2}{n} et x_i = \frac{2i}{n}. Utilisez \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2} :

Cela correspond à l'aire du triangle \frac{1}{2}(2)(2) = 2.

10. \Delta x = \frac{\pi}{4}, et les milieux sont \frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}, \frac{7\pi}{8}. Leurs sinus valent environ 0.3827, 0.9239, 0.9239, 0.3827, dont la somme vaut environ 2.6131 :

Comme \sin x est concave sur [0, \pi], la somme du point milieu surestime la valeur exacte 2.

Erreurs fréquentes sur ces exercices

• Utiliser n + 1 hauteurs. Une somme à gauche ou à droite avec n = 4 comporte exactement quatre rectangles. Listez les points et barrez celui que vous n'utilisez pas.
• Supposer des largeurs égales dans un tableau. Dans l'exercice 6, les écarts valent 2, 3 et 1. Utiliser un seul \Delta x donne une mauvaise réponse.
• Confondre les règles d'excès et de défaut. Gauche et droite dépendent de la croissance ou de la décroissance. Point milieu et trapèzes dépendent de la convexité.
• Mal lire l'intervalle dans une limite. Dans l'exercice 8, x_i = 1 + \frac{3i}{n} signifie que l'intervalle commence en 1, et non en 0.

Continuer à s'entraîner

Pour des sommes illimitées avec de nouvelles fonctions et une correction immédiate, suivez la leçon sur les sommes de Riemann et la leçon sur la méthode des trapèzes. Voyez ensuite comment la limite de ces sommes devient une valeur exacte avec les exercices sur les intégrales définies et les exercices sur le théorème fondamental.