Théorème fondamental de l'analyse : exercices corrigés

Ces exercices sur le théorème fondamental de l'analyse couvrent les deux parties du théorème : dériver des intégrales à bornes variables, calculer des intégrales définies et interpréter des fonctions d'accumulation. Cherchez chaque exercice d'abord. Les réponses sont données en premier, puis viennent les solutions détaillées.

Les deux parties :

Avec la dérivation en chaîne, la 1re partie devient \frac{d}{dx}\int_a^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x))\,g'(x). Pour le raisonnement, voir la 1re partie et la 2e partie.

Exercices

1re partie : dérivées d'intégrales

1. \displaystyle\frac{d}{dx}\int_1^{x}(t^3 + 1)\,dt
2. \displaystyle\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt
3. \displaystyle\frac{d}{dx}\int_x^{5}e^{t^2}\,dt
4. \displaystyle\frac{d}{dx}\int_x^{x^2}\frac{1}{t}\,dt pour x > 0
5. \displaystyle\frac{d}{dx}\int_0^{\sin x}(1 + t^2)\,dt

2e partie : calcul

6. \displaystyle\int_1^{2}(6x^2 - 2)\,dx
7. \displaystyle\int_0^{\pi}\sin x\,dx
8. \displaystyle\int_0^{\ln 3}e^x\,dx
9. \displaystyle\int_0^{1}\frac{1}{1 + x^2}\,dx

Fonctions d'accumulation

10. Soit g(x) = \int_0^{x}(t^2 - 4)\,dt. Où g est-elle croissante ? Trouvez le minimum local de g et sa valeur.
11. Soit F(x) = \int_2^{x}\sqrt{t^2 + 5}\,dt. Calculez F(2) et F'(2).
12. Soit g(x) = \int_0^{x}\sin(t^2)\,dt. Calculez g''(x).

Réponses

Solutions détaillées

1. La borne supérieure est simplement x, donc remplacez t par x. La borne inférieure 1 n'a pas d'importance :

2. La borne supérieure est x^2 : remplacez-la dans l'intégrande et multipliez par sa dérivée 2x :

3. La variable est dans la borne inférieure. Échangez les bornes pour obtenir -\int_5^{x}e^{t^2}\,dt, puis appliquez la 1re partie :

Remarquez que e^{t^2} n'a pas de primitive élémentaire, donc la 1re partie est la seule façon de faire.

4. Borne supérieure moins borne inférieure, chacune avec son facteur de dérivation en chaîne :

Vérification : l'intégrale vaut \ln(x^2) - \ln x = \ln x, dont la dérivée est \frac{1}{x}.

5. Évaluez en \sin x l'intégrande 1 + t^2 et multipliez par \cos x :

6. Une primitive est 2x^3 - 2x :

7. Une primitive de \sin x est -\cos x :

8. Comme e^{\ln 3} = 3 :

9. Une primitive est \arctan x :

10. D'après la 1re partie, g'(x) = x^2 - 4. C'est positif quand |x| > 2, donc g est croissante sur (-\infty, -2) et (2, \infty). En x = 2, g' passe du négatif au positif, donc g y admet un minimum local :

11. Quand les bornes sont égales, l'intégrale vaut 0, donc F(2) = 0. D'après la 1re partie, F'(x) = \sqrt{x^2 + 5}, donc F'(2) = \sqrt{9} = 3.

12. D'abord g'(x) = \sin(x^2). Dérivez à nouveau avec la dérivation en chaîne :

Erreurs fréquentes sur ces exercices

• Oublier le facteur de la dérivation en chaîne. Dans l'exercice 2, \cos(x^2) seul est faux. Multipliez par la dérivée de la borne supérieure.
• Ignorer une borne inférieure variable. Dans l'exercice 3, le signe moins vient de l'échange des bornes.
• Vouloir intégrer d'abord quand c'est impossible. e^{t^2} et \sin(t^2) n'ont pas de primitive élémentaire. La 1re partie permet d'éviter cette étape.
• Confondre g et g'. Dans l'exercice 10, g croît là où l'intégrande est positive, pas là où g elle-même est positive.

Continuer à s'entraîner

Pour des exercices en nombre illimité avec correction immédiate, essayez la leçon sur le théorème fondamental, 1re partie, la leçon sur la 2e partie et la leçon sur les fonctions d'accumulation. Pour une vue d'ensemble, lisez le guide du théorème fondamental. Passez ensuite aux exercices sur le changement de variable.