Intégrale de 1/(1+x²) : formule, méthode et exemples
L'intégrale de 1/(1+x²) vaut arctan x + C. Pourquoi, avec un changement de variable x = tan θ, la version 1/(a²+x²), un graphique et des exemples.
Intégrales et fonctions trigonométriques réciproques Mis à jour Lecture : 3 min
En bref
- Primitive
- \arctan x + C
- Forme générale
- \displaystyle\int \frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C
- Méthode
- Changement de variable x = \tan\theta, ou reconnaître la dérivée de arctan
- De 0 à 1
- \dfrac{\pi}{4}
- Sur toute la droite réelle
- \pi
Sur cette page
L'intégrale de \dfrac{1}{1+x^2} est \arctan x + C. C'est l'une des rares intégrales à reconnaître immédiatement, car elle transforme une simple fonction rationnelle en un angle.
La version plus générale, pour toute constante a > 0, est
Graphique de 1/(1+x²) et de sa primitive
La courbe \frac{1}{1+x^2} est positive partout, donc sa primitive est toujours croissante. Elle s'aplatit aussi très vite, c'est pourquoi \arctan x s'approche des droites horizontales y = \pm\frac{\pi}{2}.
Comment intégrer 1/(1+x²) pas à pas
On peut simplement reconnaître la dérivée de arctan x. Pour voir d'où vient le résultat, on utilise le changement de variable x = \tan\theta.
- Poser x = \tan\theta, donc dx = \sec^2\theta\,d\theta (où sec θ désigne 1/cos θ).
- Utiliser l'identité 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta : \int \frac{\sec^2\theta}{1+\tan^2\theta}\,d\theta = \int \frac{\sec^2\theta}{\sec^2\theta}\,d\theta = \int 1\,d\theta = \theta + C
- Revenir à x. Comme x = \tan\theta, on a \theta = \arctan x.
Pour \frac{1}{a^2+x^2}, on met a^2 en facteur et on pose u = \frac{x}{a}, dx = a\,du :
C'est l'idée du changement de variable trigonométrique, dans sa forme la plus simple.
Vérification par dérivation
Avec a = 1, on retrouve \frac{1}{1+x^2}.
Intégrales définies
| Intégrale | Valeur |
|---|---|
| \int_0^1 \frac{dx}{1+x^2} | \frac{\pi}{4} \approx 0.785 |
| \int_{-1}^{1} \frac{dx}{1+x^2} | \frac{\pi}{2} |
| \int_0^{\sqrt{3}} \frac{dx}{1+x^2} | \frac{\pi}{3} |
| \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1+x^2} | \pi |
La dernière est une intégrale impropre. Elle converge bien que l'intervalle soit infini, car \frac{1}{1+x^2} décroît comme \frac{1}{x^2}.
Exemples corrigés
Exemple 1 : une constante autre que 1. \displaystyle\int \frac{dx}{9 + x^2}. Ici a = 3 :
Exemple 2 : un coefficient devant x². \displaystyle\int \frac{dx}{1 + 4x^2}. On pose u = 2x, du = 2\,dx :
Exemple 3 : forme canonique. \displaystyle\int \frac{dx}{x^2 + 2x + 5}. On écrit x^2 + 2x + 5 = (x+1)^2 + 4, puis on utilise a = 2 avec u = x + 1 :
Exemple 4 : séparer le numérateur. \displaystyle\int \frac{x + 3}{x^2 + 1}\,dx. On sépare en deux intégrales connues :
La première partie est traitée sur la page intégrale de x/(x²+1).
Erreurs fréquentes
- Écrire \ln(1 + x^2). C'est la primitive de \frac{2x}{1+x^2}, pas de \frac{1}{1+x^2}. Sans x au numérateur, il n'y a pas de du pour un changement de variable logarithmique.
- Oublier le \frac{1}{a}. \int \frac{dx}{4+x^2} vaut \frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2}, et non \arctan\frac{x}{2}. Dérivez votre résultat pour le repérer.
- La confondre avec \frac{1}{1-x^2}. Un signe moins change tout. \frac{1}{1-x^2} demande une décomposition en éléments simples et donne des logarithmes ; voir l'intégrale de 1/(x²−1).
- Utiliser des degrés. \arctan 1 = \frac{\pi}{4}, et non 45. En analyse, on travaille toujours en radians.
Pour la fonction réciproque elle-même, voir la page arctangente. Pour intégrer \arctan x (au lieu de l'obtenir comme résultat), voir l'intégrale de arctan x.
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