Intégrale de 1/√(1−x²) : formule, méthode et exemples

L'intégrale de \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} est \arcsin x + C. C'est l'inverse de la dérivée de arcsin x, et elle est valable sur l'intervalle -1 < x < 1, où la racine carrée est réelle et non nulle.

Pour toute constante a > 0 :

Graphique de 1/√(1−x²)

Comment intégrer 1/√(1−x²) pas à pas

La racine de 1 - x^2 rappelle l'identité de Pythagore 1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta, donc on pose x = \sin\theta.

1. Poser x = \sin\theta avec -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}. Alors dx = \cos\theta\,d\theta.
2. Simplifier la racine. Sur cet intervalle \cos\theta > 0, donc \sqrt{1 - \sin^2\theta} = \cos\theta.
3. Intégrer : \int \frac{\cos\theta\,d\theta}{\cos\theta} = \int 1\,d\theta = \theta + C
4. Revenir à x : \theta = \arcsin x.

Pour \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}, on pose x = a\sin\theta. Alors dx = a\cos\theta\,d\theta et \sqrt{a^2 - a^2\sin^2\theta} = a\cos\theta. Les deux facteurs a se simplifient, c'est pourquoi le résultat n'a pas de \frac{1}{a} devant. C'est le premier cas du changement de variable trigonométrique.

Vérification par dérivation

Cette étape utilise a\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} = \sqrt{a^2 - x^2}, qui est vrai car a > 0.

Intégrales définies

Les deux dernières sont des intégrales impropres, car la fonction n'est pas bornée en x = \pm 1. Elles convergent quand même, car l'explosion n'est que de l'ordre de \frac{1}{\sqrt{1-x}}.

Exemples corrigés

Exemple 1. \displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{9 - x^2}} = \arcsin\frac{x}{3} + C, avec a = 3.

Exemple 2 : un coefficient devant x². \displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{1 - 4x^2}}. On pose u = 2x, du = 2\,dx :

Exemple 3 : forme canonique. \displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{4x - x^2}}. On écrit 4x - x^2 = 4 - (x - 2)^2, puis on utilise a = 2 et u = x - 2 :

Exemple 4 : une intégrale définie. \displaystyle\int_0^{3} \frac{dx}{\sqrt{36 - x^2}} = \arcsin\frac{3}{6} - \arcsin 0 = \frac{\pi}{6}.

Erreurs fréquentes

1. Ajouter un \frac{1}{a}. Il appartient à la formule de l'arctan, \int \frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}. La formule de l'arcsin n'en a pas. Comparez avec l'intégrale de 1/(1+x²).
2. Penser à arcsin quand il y a un x au numérateur. \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx est un simple changement de variable, de résultat -\sqrt{1-x^2} + C.
3. Confondre \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} et \sqrt{1-x^2}. La racine seule s'intègre en une expression plus longue ; voir l'intégrale de √(1−x²).
4. Utiliser la formule hors de \lvert x\rvert < a. Pour \lvert x\rvert > a, la racine n'est pas réelle. Des intégrales comme \int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}} donnent plutôt \ln\lvert x + \sqrt{x^2-1}\rvert.

Pour intégrer la fonction arcsinus elle-même, voir l'intégrale de arcsin x. La page arcsinus présente son domaine de définition et son graphique.