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Puissances, racines et fonctions rationnelles

Intégrale de x/(x² + 1) : formule, méthode et exemples

L'intégrale de x/(x² + 1) vaut ½ ln(x² + 1) + C. Le changement de variable pas à pas, pourquoi la valeur absolue est inutile, et 1/(x² + 1).

Puissances, racines et fonctions rationnelles Mis à jour Lecture : 2 min

En bref

\int \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left(x^2 + 1\right) + C
Primitive
\dfrac{1}{2}\ln\left(x^2 + 1\right) + C
Méthode
Changement de variable avec u = x^2 + 1
Valeur absolue
Inutile, car x^2 + 1 > 0
Intervalle symétrique
\int_{-a}^{a}\dfrac{x}{x^2 + 1}\,dx = 0
À comparer
\int \dfrac{1}{x^2 + 1}\,dx = \arctan x + C
Sur cette page
  1. Graphique de x/(x² + 1) et de sa primitive
  2. Le changement de variable pas à pas
  3. Vérification par dérivation
  4. Intégrales définies
  5. Intégrales voisines
  6. Erreurs fréquentes

L'intégrale de \dfrac{x}{x^2 + 1} est \dfrac{1}{2}\ln\left(x^2 + 1\right) + C. C'est l'exemple type d'un changement de variable qui aboutit à un logarithme.

\int \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left(x^2 + 1\right) + C

Graphique de x/(x² + 1) et de sa primitive

Aire sous y = x/(x² + 1) de 0 à 2, avec la primitive y = ½ ln(x² + 1)
L'aire hachurée vaut \frac{1}{2}\ln 5 \approx 0.805. La fonction est impaire et sa primitive est paire : la courbe en pointillés est symétrique par rapport à l'axe des y, avec un minimum en x = 0.

Le changement de variable pas à pas

  1. Remarquer que la dérivée du dénominateur, 2x, correspond au numérateur à une constante près.
  2. Poser u = x^2 + 1. Alors du = 2x\,dx, donc x\,dx = \frac{1}{2}du.
  3. Réécrire : \displaystyle\int \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2}\int\frac{1}{u}\,du.
  4. Intégrer avec l'intégrale de 1/x : \frac{1}{2}\ln\lvert u\rvert + C.
  5. Revenir à la variable de départ : \frac{1}{2}\ln\lvert x^2 + 1\rvert + C.
  6. Comme x^2 + 1 \ge 1 > 0, on enlève les barres : \frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C.

Le schéma général est \int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln\lvert f(x)\rvert + C. Ici le numérateur vaut \frac{1}{2}f'(x), d'où le facteur \frac{1}{2}.

Vérification par dérivation

\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2}\ln(x^2 + 1)\right] = \frac{1}{2}\cdot\frac{2x}{x^2 + 1} = \frac{x}{x^2 + 1} \checkmark

Intégrales définies

Exemple 1. \int_0^1 \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln 2 \approx 0.347.

Exemple 2. \int_{-3}^{3}\frac{x}{x^2 + 1}\,dx = 0. La fonction est impaire, donc l'aire à gauche compense l'aire à droite.

Exemple 3 : changer les bornes. Avec u = x^2 + 1, les bornes x = 0 et x = 2 deviennent u = 1 et u = 5 :

\int_0^2 \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2}\int_1^5\frac{du}{u} = \frac{1}{2}\ln 5

Intégrales voisines

De petites modifications de la fonction changent complètement la méthode :

Intégrale Méthode Résultat
\int\frac{x}{x^2 + 1}\,dx u = x^2 + 1 \frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C
\int\frac{1}{x^2 + 1}\,dx formule connue \arctan x + C
\int\frac{x}{(x^2 + 1)^2}\,dx u = x^2 + 1 -\frac{1}{2(x^2 + 1)} + C
\int\frac{x}{x^2 + a^2}\,dx u = x^2 + a^2 \frac{1}{2}\ln(x^2 + a^2) + C
\int\frac{x^3}{x^2 + 1}\,dx division d'abord \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C

Pour la dernière ligne, la division euclidienne donne \frac{x^3}{x^2 + 1} = x - \frac{x}{x^2 + 1}.

Exemple 4 : séparer le numérateur.

\int\frac{2x + 3}{x^2 + 1}\,dx = \int\frac{2x}{x^2 + 1}\,dx + 3\int\frac{1}{x^2 + 1}\,dx = \ln(x^2 + 1) + 3\arctan x + C

Le second morceau utilise l'intégrale de 1/(1 + x²).

Erreurs fréquentes

  1. Oublier le \frac{1}{2}. du = 2x\,dx, donc x\,dx n'est que la moitié de du.
  2. Répondre \arctan x. C'est l'intégrale de \frac{1}{x^2 + 1}, sans le x au numérateur.
  3. Écrire \ln\lvert x\rvert\cdot\ln\lvert x^2 + 1\rvert ou séparer la fraction en \frac{x}{x^2} + \frac{x}{1}. On ne peut pas séparer une fraction dont le dénominateur est une somme.
  4. Intégrer \frac{x}{x^2 - 1} de la même façon en enlevant les barres. Celle-ci donne \frac{1}{2}\ln\lvert x^2 - 1\rvert + C, et la valeur absolue compte.

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Questions fréquentes

Quelle est l'intégrale de x/(x² + 1) ?
C'est \frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C. On pose u = x^2 + 1, donc x\,dx = \frac{1}{2}du.

Quelle est l'intégrale de 2x/(x² + 1) ?
C'est \ln(x^2 + 1) + C. Le numérateur est exactement la dérivée du dénominateur, donc le résultat est le logarithme du dénominateur.

Combien vaut l'intégrale de x/(x² + 1) entre 0 et 1 ?
Elle vaut \frac{1}{2}\ln 2 - \frac{1}{2}\ln 1 = \frac{1}{2}\ln 2 \approx 0.347.

L'intégrale de x/(x² + 1) de 0 à l'infini converge-t-elle ?
Non. \frac{1}{2}\ln(b^2 + 1) \to \infty quand b \to \infty, donc l'intégrale diverge. Pour x grand, la fonction se comporte comme \frac{1}{x}.

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