Intégrale de arctan x : formule, méthode et exemples

L'intégrale de \arctan x est x\arctan x - \dfrac{1}{2}\ln(1+x^2) + C. Aucune règle de base ne défait directement l'arctangente, donc la méthode habituelle est une intégration par parties avec un facteur 1 « caché ».

Graphique de arctan x et de sa primitive

Comment intégrer arctan x pas à pas

L'astuce consiste à écrire \arctan x comme \arctan x \cdot 1 et à utiliser l'intégration par parties, \int u\,dv = uv - \int v\,du.

1. Choisir les facteurs. u = \arctan x et dv = dx. Alors du = \frac{1}{1+x^2}\,dx et v = x.
2. Appliquer la formule. \int \arctan x\,dx = x\arctan x - \int \frac{x}{1+x^2}\,dx
3. Terminer l'intégrale restante avec w = 1 + x^2, dw = 2x\,dx : \int \frac{x}{1+x^2}\,dx = \frac{1}{2}\int\frac{dw}{w} = \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C
4. Regrouper. \int \arctan x\,dx = x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C

Pourquoi choisir u = \arctan x ? Sa dérivée \frac{1}{1+x^2} est algébrique et bien plus facile à manipuler. Dans l'ordre LIATE, les fonctions trigonométriques réciproques viennent en tête, ce sont donc de bons choix pour u.

Vérification par dérivation

Les deux fractions se compensent exactement, il reste \arctan x.

Intégrales définies

De 0 à 1 :

De −1 à 1 : \arctan x est une fonction impaire, donc \int_{-1}^{1}\arctan x\,dx = 0. L'aire au-dessus de l'axe à droite compense l'aire en dessous à gauche.

De 0 à √3 : \sqrt{3}\cdot\frac{\pi}{3} - \frac{1}{2}\ln 4 = \frac{\pi\sqrt{3}}{3} - \ln 2 \approx 1.121.

Exemples corrigés

Exemple 1 : une variable multipliée. \int \arctan(2x)\,dx. On pose u = 2x, donc dx = \frac{du}{2} :

Vérification : la dérivée vaut \arctan 2x + \frac{2x}{1+4x^2} - \frac{1}{4}\cdot\frac{8x}{1+4x^2} = \arctan 2x.

Exemple 2 : x fois arctan x. On prend u = \arctan x et dv = x\,dx, donc v = \frac{x^2}{2} :

On écrit \frac{x^2}{1+x^2} = 1 - \frac{1}{1+x^2}, qui s'intègre en x - \arctan x. Donc

Exemple 3 : arctan de la racine carrée. Pour \int\arctan\sqrt{x}\,dx, on pose d'abord x = t^2, puis on intègre par parties. Le résultat est (x+1)\arctan\sqrt{x} - \sqrt{x} + C, ce que l'on peut confirmer en dérivant.

Erreurs fréquentes

1. Répondre \frac{1}{1+x^2}. C'est la dérivée de \arctan x, pas son intégrale. Voir la dérivée de arctan x.
2. Confondre arctan et l'inverse de tan. \tan^{-1}x est la fonction réciproque. \frac{1}{\tan x} = \cot x est une autre fonction ; voir l'intégrale de cotan x.
3. Perdre le facteur \frac{1}{2}. Dans \int\frac{x}{1+x^2}\,dx, le changement de variable donne \frac{1}{2}\ln(1+x^2), et non \ln(1+x^2).
4. Inverser les rôles. Choisir u = 1 et dv = \arctan x\,dx demande justement l'intégrale que l'on cherche. Dérivez toujours la fonction trigonométrique réciproque.

Pour obtenir arctan comme résultat plutôt que de l'intégrer, voir l'intégrale de 1/(1+x²). La même astuce par parties est présentée sur la page intégrale de ln x, et le guide de l'intégration par parties propose davantage d'entraînement.