Intégrale de eˣ sin x : formule, méthode et exemples

L'intégrale de e^x\sin x est \dfrac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) + C. C'est la célèbre intégrale « en boucle » : l'intégration par parties ne se termine jamais d'elle-même, mais après deux étapes on peut trouver le résultat par un peu d'algèbre.

Graphique de eˣ sin x

Comment intégrer eˣ sin x pas à pas

Notons I l'intégrale. On utilise l'intégration par parties avec la fonction trigonométrique comme u les deux fois.

1. Premier passage. u = \sin x, dv = e^x\,dx, donc du = \cos x\,dx et v = e^x : I = e^x\sin x - \int e^x\cos x\,dx
2. Second passage, sur \int e^x\cos x\,dx. De nouveau, la fonction trigonométrique est u : u = \cos x, dv = e^x\,dx, donc du = -\sin x\,dx, v = e^x : \int e^x\cos x\,dx = e^x\cos x + \int e^x\sin x\,dx = e^x\cos x + I
3. Remplacer. L'intégrale de départ est revenue : I = e^x\sin x - e^x\cos x - I
4. Isoler I. On ajoute I aux deux membres : 2I = e^x(\sin x - \cos x), donc I = \frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x) + C

Le + C s'ajoute à la fin, après la résolution. La méthode fonctionne aussi bien avec u = e^x les deux fois. Ce qui échoue, c'est de changer en cours de route : si l'on prend u = \sin x d'abord puis u = e^x ensuite, la deuxième étape défait la première et l'on obtient I = I.

Vérification par dérivation

La formule générale

La même boucle en deux étapes pour e^{ax}\sin bx et e^{ax}\cos bx donne

Avec a = b = 1, le dénominateur vaut 2, ce qui correspond au résultat ci-dessus.

Une voie plus rapide avec les nombres complexes. Comme e^{ix} = \cos x + i\sin x, e^x\sin x est la partie imaginaire de e^{(1+i)x}. En intégrant, on obtient \frac{e^{(1+i)x}}{1+i} = \frac{(1-i)}{2}e^x(\cos x + i\sin x), dont la partie imaginaire est \frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x).

Intégrales définies

De 0 à π :

De 0 à π/2 : \frac{e^{\pi/2}}{2}(1 - 0) - \frac{1}{2}(0 - 1) = \frac{e^{\pi/2} + 1}{2} \approx 2.905.

Version amortie. \int_0^\infty e^{-x}\sin x\,dx. On applique la formule avec a = -1, b = 1 : la primitive est \frac{e^{-x}(-\sin x - \cos x)}{2}, qui tend vers 0 à l'infini. La valeur est donc 0 - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}.

Exemples corrigés

Exemple 1 : eˣ cos x. D'après l'étape 2 ci-dessus, \int e^x\cos x\,dx = e^x\cos x + I. On remplace I :

Exemple 2 : des fréquences différentes. \int e^{2x}\sin 3x\,dx = \frac{e^{2x}(2\sin 3x - 3\cos 3x)}{13} + C, avec a^2 + b^2 = 4 + 9 = 13.

Exemple 3 : oscillation amortie. Le déplacement d'un ressort vaut e^{-t}\cos t. Son déplacement algébrique total sur [0, \infty) vaut \int_0^\infty e^{-t}\cos t\,dt = \frac{1}{2}, d'après la formule du cosinus avec a = -1, b = 1 : la primitive \frac{e^{-t}(\sin t - \cos t)}{2} va de -\frac{1}{2} à 0.

Erreurs fréquentes

1. Changer le choix de u entre les deux passages. On aboutit à I = I, ce qui est vrai mais inutile.
2. Oublier de diviser par 2. Après l'étape 3, on a 2I, pas I.
3. Erreurs de signe au second passage. \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x, donc la seconde intégrale s'ajoute au lieu de se soustraire.
4. S'attendre à ce que l'intégration par parties se termine. Avec x\sin x, la puissance de x disparaît ; avec e^x\sin x, rien ne disparaît, d'où la boucle. Comparez avec l'intégrale de x sin x.

La leçon sur les intégrations par parties répétées et LIATE travaille cette boucle, et le guide de l'intégration par parties propose d'autres exemples.