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Intégrales trigonométriques

Intégrale de sec x tan x (sin x/cos² x) : formule et exemples

L'intégrale de sec x tan x vaut sec x + C, soit 1/cos x + C. Pourquoi elle inverse la dérivée de sec x, la forme sin x/cos² x, et des exemples.

Intégrales trigonométriques Mis à jour Lecture : 2 min

En bref

\int \sec x\tan x\,dx = \sec x + C
Primitive
\sec x + C
Équivaut à
\int\dfrac{\sin x}{\cos^2 x}\,dx = \sec x + C
Forme affine
\int\sec(ax)\tan(ax)\,dx = \dfrac{1}{a}\sec(ax) + C
Version cosécante
\int\csc x\cot x\,dx = -\csc x + C
De 0 à π/3
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Sur cette page
  1. Graphique de sec x tan x et de sa primitive
  2. Démonstration
  3. Vérification par dérivation
  4. La repérer quand elle est déguisée
  5. Intégrales définies
  6. Variantes par changement de variable
  7. Erreurs fréquentes

L'intégrale de \sec x\tan x est \sec x + C, où sec x désigne 1/cos x. C'est l'inverse de l'une des six dérivées trigonométriques de base, et il vaut la peine de la reconnaître au premier coup d'œil.

\int \sec x\tan x\,dx = \sec x + C

Graphique de sec x tan x et de sa primitive

Aire sous y = sec x tan x de 0 à π/3, avec la primitive y = sec x
L'aire hachurée vaut \sec\frac{\pi}{3} - \sec 0 = 2 - 1 = 1. La courbe en pointillés y = \sec x a son minimum en x = 0, exactement là où \sec x\tan x s'annule.

\sec x\tan x est une fonction impaire, donc sa primitive \sec x est paire.

Démonstration

  1. Se rappeler la dérivée de sec x : \frac{d}{dx}\sec x = \sec x\tan x.
  2. L'inverser : \sec x est une primitive de \sec x\tan x.
  3. Ajouter C.

Pour voir d'où vient cette dérivée, écrivez \sec x = (\cos x)^{-1} et utilisez la règle de dérivation en chaîne :

\frac{d}{dx}(\cos x)^{-1} = -(\cos x)^{-2}\cdot(-\sin x) = \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \sec x\tan x

Vérification par dérivation

\frac{d}{dx}(\sec x + C) = \sec x\tan x \checkmark

La repérer quand elle est déguisée

L'intégrale n'arrive pas toujours sous cette étiquette. Chacune de ces fonctions est \sec x\tan x :

Fonction à intégrer Réécriture Intégrale
\frac{\sin x}{\cos^2 x} \frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x} \sec x + C
\frac{\tan x}{\cos x} \tan x\sec x \sec x + C
\frac{\sin x}{1 - \sin^2 x} \frac{\sin x}{\cos^2 x} \sec x + C

On peut aussi traiter directement la première ligne avec u = \cos x : \int\frac{\sin x}{\cos^2 x}\,dx = -\int u^{-2}\,du = u^{-1} + C = \sec x + C.

Intégrales définies

\int_0^{\pi/3}\sec x\tan x\,dx = 2 - 1 = 1, \qquad \int_0^{\pi/4}\sec x\tan x\,dx = \sqrt{2} - 1 \approx 0.414

Sur un intervalle symétrique comme \left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right], l'intégrale vaut 0, car la fonction est impaire.

Variantes par changement de variable

\int\sec(ax + b)\tan(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}\sec(ax + b) + C

Exemple 1. \int\sec(5x)\tan(5x)\,dx = \frac{1}{5}\sec(5x) + C.

Exemple 2 : puissances de sec. Avec u = \sec x, du = \sec x\tan x\,dx :

\int\sec^3 x\tan x\,dx = \int\sec^2 x\cdot(\sec x\tan x)\,dx = \int u^2\,du = \frac{\sec^3 x}{3} + C

Exemple 3 : puissances impaires de tan. \int\tan^3 x\sec x\,dx = \int(\sec^2 x - 1)\sec x\tan x\,dx = \frac{\sec^3 x}{3} - \sec x + C.

Exemple 4 : la version cosécante. \int\csc x\cot x\,dx = -\csc x + C, car \frac{d}{dx}\csc x = -\csc x\cot x.

Erreurs fréquentes

  1. Intégrer chaque facteur séparément. \int\sec x\tan x\,dx ne vaut pas \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert\cdot\ln\lvert\sec x\rvert. L'intégrale d'un produit n'est pas le produit des intégrales.
  2. Répondre \tan x. C'est l'intégrale de \sec^2 x. Voir l'intégrale de sec² x.
  3. Répondre \csc x pour la version cosécante. Il faut un signe moins : -\csc x + C.
  4. Ne pas voir le déguisement. Essayez toujours de réécrire \frac{\sin x}{\cos^2 x} avant de sortir une méthode plus lourde.

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Questions fréquentes

Quelle est l'intégrale de sec x tan x ?
L'intégrale de \sec x\tan x est \sec x + C.

Quelle est l'intégrale de sin x / cos² x ?
Comme \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x} = \sec x\tan x, l'intégrale vaut \sec x + C.

Quelle est l'intégrale de sec(2x) tan(2x) ?
C'est \frac{1}{2}\sec(2x) + C.

Quelle est l'intégrale de csc x cot x ?
C'est -\csc x + C, car la dérivée de \csc x est -\csc x\cot x.

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