Dérivée de sec x : formule, démonstration et exemples
La dérivée de sec x est sec x tan x. Démonstration à partir de 1/cos x, version composée pour sec(u), courbe et exemples comme sec(2x) et x sec x.
Dérivées trigonométriques Mis à jour Lecture : 2 min
En bref
- Dérivée
- \sec x\tan x pour x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi
- Avec sin et cos
- \dfrac{\sin x}{\cos^2 x}
- Forme composée
- \dfrac{d}{dx}\sec u = \sec u\tan u \cdot u'
- Pente en x = 0
- \sec 0\tan 0 = 0
- Version intégrale
- \int \sec x\tan x\,dx = \sec x + C
Sur cette page
La dérivée de \sec x est \sec x\tan x. La sécante est l'inverse du cosinus, donc sa dérivée découle directement de la dérivée de cos x.
Courbe de sec x et de sa dérivée
Démonstration par la règle de dérivation en chaîne
Écrivons \sec x = (\cos x)^{-1}. La règle de dérivation en chaîne, avec la puissance -1 à l'extérieur et \cos x à l'intérieur, donne
On sépare la fraction en deux morceaux familiers :
La règle du quotient appliquée à \frac{1}{\cos x} donne la même chose : \frac{0\cdot\cos x - 1\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos^2 x}.
La version composée : dérivée de sec(u)
\sec et \tan gardent toutes les deux le même intérieur.
| Fonction | Intérieur u | Dérivée |
|---|---|---|
| \sec(2x) | 2x | 2\sec(2x)\tan(2x) |
| \sec(x^2) | x^2 | 2x\sec(x^2)\tan(x^2) |
| \sec(3x + 1) | 3x + 1 | 3\sec(3x + 1)\tan(3x + 1) |
| \sec\left(\frac{1}{x}\right) | \frac{1}{x} | -\frac{1}{x^2}\sec\frac{1}{x}\tan\frac{1}{x} |
Exemples corrigés
Exemple 1 : un produit. \frac{d}{dx}(x\sec x) = \sec x + x\sec x\tan x = \sec x(1 + x\tan x).
Exemple 2 : une puissance. \frac{d}{dx}\sec^3 x = 3\sec^2 x\cdot\sec x\tan x = 3\sec^3 x\tan x.
Exemple 3 : une somme qui se simplifie. \frac{d}{dx}(\sec x + \tan x) = \sec x\tan x + \sec^2 x = \sec x(\tan x + \sec x). Ce joli résultat est l'astuce derrière l'intégrale de sec x, \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C.
Exemple 4 : une valeur. En x = \frac{\pi}{3}, \sec\frac{\pi}{3} = 2 et \tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}, donc la pente vaut 2\sqrt{3} \approx 3.46.
Comment la retenir
En analyse, sécante et tangente vont toujours ensemble. La dérivée de \tan x est \sec^2 x, et la dérivée de \sec x est \sec x\tan x. Un moyen de ne pas les confondre : la dérivée de la tangente ne contient pas de tangente, alors que celle de la sécante contient chacune des deux fonctions une fois. Vérifier une valeur aide aussi. En x = 0, la sécante atteint son minimum, donc la pente doit être nulle, et en effet \tan 0 = 0.
Erreurs fréquentes
- Écrire \tan^2 x ou \sec^2 x. La dérivée de \sec x est \sec x\tan x. \sec^2 x est la dérivée de \tan x.
- Ajouter un signe moins. La sécante n'est pas une fonction en « co », donc sa dérivée est positive. Comparez avec la dérivée de csc x, -\csc x\cot x.
- Ne changer qu'un seul intérieur. \frac{d}{dx}\sec(5x) = 5\sec(5x)\tan(5x). Les deux facteurs gardent 5x.
Lu à l'envers, le résultat donne l'intégrale de sec x tan x. La page des fonctions trigonométriques inverses présente la courbe de la sécante.
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