Intégrale de sec x (1/cos x) : formule, démonstration et exemples

L'intégrale de \sec x est \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C. Ici sec désigne la sécante, c'est-à-dire 1/cos x : c'est donc aussi la primitive de 1/cos x. Elle est célèbre parce que sa démonstration habituelle repose sur une astuce que personne ne devinerait au premier abord, et elle réapparaît dans des intégrales plus difficiles comme \int\sec^3 x\,dx.

Graphique de sec x et de l'aire sous la courbe

Démonstration pas à pas

1. Multiplier par une forme astucieuse de 1 : \int\sec x\,dx = \int\sec x\cdot\frac{\sec x + \tan x}{\sec x + \tan x}\,dx = \int\frac{\sec^2 x + \sec x\tan x}{\sec x + \tan x}\,dx
2. Regarder le dénominateur u = \sec x + \tan x. Sa dérivée est \sec x\tan x + \sec^2 x, c'est-à-dire exactement le numérateur.
3. Donc du = (\sec^2 x + \sec x\tan x)\,dx et l'intégrale devient \int\frac{du}{u}.
4. Intégrer : \ln\lvert u\rvert + C = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C.

L'étape 2 utilise la dérivée de sec x et la dérivée de tan x. L'étape 4 utilise l'intégrale de 1/x.

Vérification par dérivation

Formes équivalentes

Vous pouvez rencontrer d'autres réponses dans les tables ou dans les logiciels. Ce sont toutes la même fonction.

Comme \sec x + \tan x = \frac{1 + \sin x}{\cos x}, en élevant au carré on obtient

Donc \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}\right\rvert. Une formule de l'angle moitié donne aussi \ln\left\lvert\tan\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\right\rvert. Cette dernière forme est celle qu'utilise la projection de Mercator pour espacer les parallèles sur les cartes, et c'est ainsi que cette intégrale a été découverte.

Intégrales définies

Comme \sec x est paire, \int_{-a}^{a}\sec x\,dx = 2\ln(\sec a + \tan a) pour 0 < a < \frac{\pi}{2}.

Variantes par changement de variable

Par exemple, \int\sec(2x)\,dx = \frac{1}{2}\ln\lvert\sec 2x + \tan 2x\rvert + C.

Exemples corrigés

Exemple 1 : réécrire d'abord. \int\frac{1}{\cos x}\,dx n'est autre que \int\sec x\,dx = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C.

Exemple 2 : une somme. \int(\sec x + \sec^2 x)\,dx = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + \tan x + C.

Exemple 3 : à l'intérieur d'une intégrale plus grosse. L'intégration par parties transforme \int\sec^3 x\,dx en \frac{1}{2}\sec x\tan x + \frac{1}{2}\int\sec x\,dx. Voir l'intégrale de sec³ x.

Exemple 4 : après un changement de variable trigonométrique. \int\frac{dx}{\sqrt{x^2 + 1}} avec x = \tan\theta devient \int\sec\theta\,d\theta = \ln\lvert\sec\theta + \tan\theta\rvert + C = \ln\left(\sqrt{x^2 + 1} + x\right) + C.

Erreurs fréquentes

1. Répondre \sec x\tan x. C'est la dérivée de \sec x. Son intégrale se trouve sur la page intégrale de sec x tan x, dans l'autre sens.
2. Répondre \ln\lvert\sec x\rvert. C'est l'intégrale de tan x.
3. Répondre \tan x. Cela vient de \sec^2 x, pas de \sec x.
4. Oublier la valeur absolue sur les intervalles où \sec x + \tan x < 0.

La version cosécante fonctionne de la même façon : voir l'intégrale de csc x.