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Puissances, racines et fonctions rationnelles

Intégrale de 1/x : formule, démonstration et exemples

L'intégrale de 1/x vaut ln|x| + C. Pourquoi la règle de la puissance échoue ici, d'où vient la valeur absolue, et comment traiter 1/(ax + b) et f'/f.

Puissances, racines et fonctions rationnelles Mis à jour Lecture : 3 min

En bref

\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C
Primitive
\ln\lvert x\rvert + C
Valable pour
x \ne 0
Forme affine
\int \dfrac{1}{ax + b}\,dx = \dfrac{1}{a}\ln\lvert ax + b\rvert + C
Forme logarithmique
\int \dfrac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln\lvert f(x)\rvert + C
Aire de 1 à e
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Sur cette page
  1. Graphique de 1/x et de sa primitive
  2. Pourquoi la règle de la puissance échoue
  3. D'où vient la valeur absolue
  4. Vérification par dérivation
  5. Variantes par changement de variable
  6. Exemples corrigés
  7. Erreurs fréquentes

L'intégrale de \dfrac{1}{x} est \ln\lvert x\rvert + C. C'est la seule puissance de x que la règle de la puissance inverse ne sait pas traiter, et le logarithme népérien comble ce manque.

\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C, \qquad x \ne 0

Graphique de 1/x et de sa primitive

Aire sous y = 1/x de 1 à e, avec la primitive y = ln|x|
L'aire hachurée de x = 1 à x = e vaut exactement 1. C'est une façon de définir le nombre e. La courbe en pointillés y = \ln\lvert x\rvert est la primitive des deux côtés de 0.

À droite, \frac{1}{x} > 0 et \ln x croît. À gauche, \frac{1}{x} < 0 et \ln\lvert x\rvert décroît quand on se déplace vers la droite. Dans les deux cas, les pentes correspondent aux hauteurs.

Pourquoi la règle de la puissance échoue

La règle de la puissance inverse dit que \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C. Pour \frac{1}{x} = x^{-1}, cela donnerait \frac{x^0}{0}, qui n'a pas de sens. Aucune puissance de x n'a pour dérivée x^{-1}, car la dérivée de x^0 = 1 est 0.

La fonction qui a bien \frac{1}{x} pour dérivée est le logarithme népérien. La page dérivée de ln x démontre que \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x} pour x > 0.

D'où vient la valeur absolue

Pour x < 0, \ln x n'est pas défini, mais \ln(-x) l'est. Dérivons-le avec la règle de dérivation en chaîne :

\frac{d}{dx}\ln(-x) = \frac{1}{-x}\cdot(-1) = \frac{1}{x}

Donc \ln x convient pour x > 0 et \ln(-x) convient pour x < 0. Ensemble, ils forment \ln\lvert x\rvert.

Vérification par dérivation

Pour x > 0 : \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}. Pour x < 0 : \frac{d}{dx}\ln(-x) = \frac{1}{x}. Les deux donnent \frac{1}{x}, donc \frac{d}{dx}\ln\lvert x\rvert = \frac{1}{x} pour tout x \ne 0.

Variantes par changement de variable

Avec u = ax + b :

\int \frac{1}{ax + b}\,dx = \frac{1}{a}\ln\lvert ax + b\rvert + C

Plus généralement, dès que le numérateur est la dérivée du dénominateur, le résultat est un logarithme :

\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln\lvert f(x)\rvert + C

Ce seul schéma donne l'intégrale de tan x, l'intégrale de cotan x et l'intégrale de x/(x² + 1).

Exemples corrigés

Exemple 1. \int \frac{5}{x}\,dx = 5\ln\lvert x\rvert + C.

Exemple 2. \int \frac{1}{3x - 2}\,dx = \frac{1}{3}\ln\lvert 3x - 2\rvert + C.

Exemple 3. \int \frac{2x + 3}{x^2 + 3x}\,dx = \ln\lvert x^2 + 3x\rvert + C, car le numérateur est la dérivée du dénominateur.

Exemple 4 : intégrale définie, côté positif. \int_1^2 \frac{1}{x}\,dx = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 \approx 0.693.

Exemple 5 : intégrale définie, côté négatif. \int_{-3}^{-1} \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert -1\rvert - \ln\lvert -3\rvert = -\ln 3. Le résultat est négatif car la courbe est sous l'axe sur cet intervalle.

Erreurs fréquentes

  1. Utiliser la règle de la puissance. \frac{x^0}{0} n'a pas de sens. Utilisez \ln\lvert x\rvert.
  2. Oublier la valeur absolue quand x peut être négatif.
  3. Intégrer à travers 0. \int_{-1}^{1}\frac{1}{x}\,dx ne vaut pas \ln 1 - \ln 1 = 0. L'intégrale diverge.
  4. Confondre avec \frac{1}{x^2}. \int \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{x} + C, sans logarithme. Voir l'intégrale de 1/x².
  5. Oublier le \frac{1}{a} dans \int \frac{1}{ax + b}\,dx.

Pour une intégrale liée au logarithme dans l'autre sens, voir l'intégrale de ln x.

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Questions fréquentes

Quelle est l'intégrale de 1/x ?
L'intégrale de \frac{1}{x} est \ln\lvert x\rvert + C. Pour x > 0, on peut enlever les barres et écrire \ln x + C.

Pourquoi y a-t-il une valeur absolue dans ln|x| ?
\ln x n'existe que pour x > 0, alors que \frac{1}{x} existe aussi pour x < 0. Pour x négatif, la dérivée de \ln(-x) est \frac{-1}{-x} = \frac{1}{x}, donc \ln\lvert x\rvert couvre les deux côtés.

Quelle est l'intégrale de 1/(2x) ?
C'est \frac{1}{2}\ln\lvert x\rvert + C. Écrire \frac{1}{2}\ln\lvert 2x\rvert + C est aussi correct, car cela ne diffère que de la constante \frac{1}{2}\ln 2.

Combien vaut l'intégrale de 1/x entre -1 et 1 ?
Elle n'existe pas. \frac{1}{x} a une discontinuité infinie en 0, et les deux moitiés de l'intégrale impropre divergent.

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