Théorème de la moyenne pour les intégrales : énoncé et exemples

Le théorème de la moyenne pour les intégrales affirme qu'une fonction continue atteint au moins une fois sa propre valeur moyenne. Si l'on aplatit l'aire sous la courbe en un rectangle de même largeur, la hauteur de ce rectangle est une valeur réellement prise par la fonction.

Énoncé du théorème de la moyenne

Si f est continue sur l'intervalle fermé [a, b], alors il existe un nombre c dans [a, b] tel que

ou, de manière équivalente,

La quantité à droite de la première égalité est la valeur moyenne de f sur [a, b], notée f_{\text{moy}}.

Ce que signifie le théorème

L'aire sous y = f(x) entre a et b est égale à l'aire d'un rectangle de même base, b - a, et de hauteur f_{\text{moy}}. Le théorème affirme que cette hauteur n'est pas un nombre quelconque : la courbe passe par elle. Imaginez l'eau d'une cuve dont la surface ondule. Quand l'eau se stabilise à plat, son niveau est la hauteur moyenne, et la surface ondulée d'origine se trouvait à ce niveau quelque part.

Pourquoi la continuité compte

Soit f(x) = 0 pour 0 \le x < 1 et f(x) = 1 pour 1 \le x \le 2. Son intégrale sur [0, 2] vaut 1, donc sa valeur moyenne est \frac{1}{2}. Mais f ne prend que les valeurs 0 et 1, jamais \frac{1}{2}. Le saut en x = 1 permet à la fonction d'enjamber sa moyenne. Avec la continuité, le théorème des valeurs intermédiaires l'empêche.

Pourquoi le théorème est vrai

D'après le théorème des bornes atteintes, f admet un minimum m et un maximum M sur [a, b]. Comme m \le f(x) \le M,

Ainsi f_{\text{moy}} est comprise entre deux valeurs atteintes par f, et le théorème des valeurs intermédiaires fournit un c tel que f(c) = f_{\text{moy}}.

Exemples corrigés

Exemple 1 : f(x) = x^2 sur [0, 3].

Étape 1. Valeur moyenne : \frac{1}{3 - 0}\int_0^3 x^2\,dx = \frac{1}{3}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac{1}{3}\cdot 9 = 3.

Étape 2. On résout c^2 = 3, donc c = \pm\sqrt{3}.

Étape 3. Seul c = \sqrt{3} \approx 1.732 appartient à [0, 3].

Exemple 2 : f(x) = \sin x sur [0, \pi].

Étape 1. f_{\text{moy}} = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin x\,dx = \frac{1}{\pi}\cdot 2 = \frac{2}{\pi} \approx 0.637.

Étape 2. On résout \sin c = \frac{2}{\pi}. Sur [0, \pi], il y a deux solutions :

Le théorème en promet au moins une ; ici, il y en a deux.

Exemple 3 : une fonction affine. Pour f(x) = 2x + 1 sur [0, 4], \int_0^4 (2x + 1)\,dx = \big[x^2 + x\big]_0^4 = 20, donc f_{\text{moy}} = \frac{20}{4} = 5. En résolvant 2c + 1 = 5, on obtient c = 2, le milieu de l'intervalle. Pour toute fonction affine, la valeur moyenne est atteinte au milieu.

Erreurs fréquentes

1. Oublier de diviser par b - a. L'intégrale est l'aire ; la valeur moyenne est l'aire divisée par la largeur.
2. Garder des solutions hors de l'intervalle. Dans l'exemple 1, c = -\sqrt{3} doit être écarté.
3. Le confondre avec le théorème des accroissements finis. Celui-ci relie f'(c) à la pente moyenne de f. Le théorème de la moyenne relie f(c) à la valeur moyenne de f.

Théorèmes liés

Ce théorème est le théorème des accroissements finis appliqué à F(x) = \int_a^x f(t)\,dt, en utilisant la première partie du théorème fondamental pour F' = f et la deuxième partie pour calculer l'intégrale. Pour en savoir plus sur les intégrales comme aires accumulées, consultez les sommes de Riemann et le guide du théorème fondamental de l'analyse.