Derivada de ln x: fórmula, demostración y ejemplos
La derivada de ln x es 1/x. Demostración a partir de eʸ = x, la regla de la cadena para ln(u), una gráfica y ejemplos resueltos como ln(2x) y ln(x²+1).
Derivadas exponenciales y logarítmicas Actualizado 3 min de lectura
De un vistazo
- Derivada
- \dfrac{1}{x} para x > 0
- Con la regla de la cadena
- \dfrac{d}{dx}\ln u = \dfrac{u'}{u}
- Con valor absoluto
- \dfrac{d}{dx}\ln\lvert x\rvert = \dfrac{1}{x} para x \ne 0
- Dominio de ln x
- x > 0
- Versión para integrales
- \int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C
En esta página
La derivada de \ln x es \dfrac{1}{x}. Es uno de los resultados más usados del cálculo, y cubre un hueco que deja la regla de la potencia: ninguna potencia de x tiene \frac{1}{x} como derivada, pero el logaritmo natural sí.
Gráfica de ln x y de su derivada
Como \frac{1}{x} siempre es positiva para x > 0, el logaritmo natural siempre es creciente. Y como \frac{1}{x} se hace más pequeña a medida que x crece, \ln x sube cada vez más despacio, y por eso es cóncava hacia abajo.
Demostración de que la derivada de ln x es 1/x
Sea y = \ln x. Por la definición del logaritmo natural, esto significa
Deriva ambos lados respecto a x, usando derivación implícita en el lado izquierdo:
El último paso vuelve a usar e^y = x. La demostración se apoya en que la derivada de e^x es e^x, lo que puedes leer en la página de la derivada de eˣ.
La versión con la regla de la cadena: derivada de ln(u)
La mayoría de los logaritmos que te encontrarás tienen dentro algo distinto de x. Con la regla de la cadena:
En palabras: la derivada del interior, entre el interior.
| Función | Interior u | Derivada \frac{u'}{u} |
|---|---|---|
| \ln(2x) | 2x | \frac{2}{2x} = \frac{1}{x} |
| \ln(x^2 + 1) | x^2 + 1 | \frac{2x}{x^2 + 1} |
| \ln(\sin x) | \sin x | \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x |
| \ln(e^x + 3) | e^x + 3 | \frac{e^x}{e^x + 3} |
| \ln(\ln x) | \ln x | \frac{1}{x\ln x} |
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: un producto. Deriva f(x) = x^3 \ln x con la regla del producto:
Ejemplo 2: simplifica primero. Deriva g(x) = \ln\!\left(\dfrac{x^4}{x + 1}\right). Las propiedades de los logaritmos convierten el cociente en una diferencia:
Es mucho más rápido que usar la regla del cociente dentro de la regla de la cadena. Separar los logaritmos antes de derivar es la idea en la que se basa la derivación logarítmica.
Ejemplo 3: una recta tangente. La tangente a y = \ln x en x = e tiene pendiente \frac{1}{e} y pasa por (e, 1):
Esta recta pasa por el origen.
Errores comunes
- Escribir \frac{1}{u} y detenerse. \frac{d}{dx}\ln(x^2 + 1) no es \frac{1}{x^2+1}. Multiplica por la derivada del interior, 2x.
- Tratar \ln(x^2) y (\ln x)^2 como lo mismo. \frac{d}{dx}\ln(x^2) = \frac{2}{x}, pero \frac{d}{dx}(\ln x)^2 = \frac{2\ln x}{x}.
- Usar \frac{1}{x} para otras bases. \frac{d}{dx}\log_{10} x necesita el factor extra \frac{1}{\ln 10}. Consulta la derivada de log x.
- Olvidar el dominio. \ln x solo existe para x > 0. Para valores negativos usa \ln\lvert x\rvert, que tiene la misma derivada \frac{1}{x}.
Para saber más sobre logaritmos y exponenciales juntos, lee derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas, o consulta la página de la función logaritmo natural.
Practícalo ahora
Exponenciales y logaritmos
Resuelve problemas reales de este tema con corrección al instante, pistas y una solución paso a paso para cada respuesta. Gratis y sin registro para empezar.
Practicar esta lección