Dérivée de ln x : formule, démonstration et exemples
La dérivée de ln x est 1/x. Démonstration à partir de eʸ = x, version composée pour ln(u), courbe et exemples corrigés comme ln(2x) et ln(x²+1).
Dérivées exponentielles et logarithmiques Mis à jour Lecture : 3 min
En bref
- Dérivée
- \dfrac{1}{x} pour x > 0
- Forme composée
- \dfrac{d}{dx}\ln u = \dfrac{u'}{u}
- Avec valeur absolue
- \dfrac{d}{dx}\ln\lvert x\rvert = \dfrac{1}{x} pour x \ne 0
- Domaine de définition de ln x
- x > 0
- Version intégrale
- \int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C
Sur cette page
La dérivée de \ln x est \dfrac{1}{x}. C'est l'un des résultats les plus utilisés en analyse, et il comble un manque laissé par la règle de la puissance : aucune puissance de x n'a \frac{1}{x} pour dérivée, mais le logarithme népérien, si.
Courbe de ln x et de sa dérivée
Comme \frac{1}{x} est toujours positif pour x > 0, le logarithme népérien est strictement croissant. Et comme \frac{1}{x} diminue quand x augmente, \ln x monte de plus en plus lentement : c'est pour cela qu'il est concave.
Démonstration : la dérivée de ln x est 1/x
Posons y = \ln x. Par définition du logarithme népérien, cela signifie
Dérivons les deux membres par rapport à x, en utilisant la dérivation implicite à gauche :
La dernière étape utilise de nouveau e^y = x. La démonstration repose sur le fait que la dérivée de e^x est e^x, que vous trouverez sur la page dérivée de eˣ.
La version composée : dérivée de ln(u)
La plupart des logarithmes que vous rencontrerez contiennent autre chose que x seul. Avec la règle de dérivation en chaîne :
Autrement dit : la dérivée de l'intérieur, divisée par l'intérieur.
| Fonction | Intérieur u | Dérivée \frac{u'}{u} |
|---|---|---|
| \ln(2x) | 2x | \frac{2}{2x} = \frac{1}{x} |
| \ln(x^2 + 1) | x^2 + 1 | \frac{2x}{x^2 + 1} |
| \ln(\sin x) | \sin x | \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x |
| \ln(e^x + 3) | e^x + 3 | \frac{e^x}{e^x + 3} |
| \ln(\ln x) | \ln x | \frac{1}{x\ln x} |
Exemples corrigés
Exemple 1 : un produit. Dérivons f(x) = x^3 \ln x avec la règle du produit :
Exemple 2 : simplifier d'abord. Dérivons g(x) = \ln\!\left(\dfrac{x^4}{x + 1}\right). Les propriétés du logarithme transforment le quotient en différence :
C'est bien plus rapide que d'appliquer la règle du quotient à l'intérieur de la règle de dérivation en chaîne. Décomposer les logarithmes avant de dériver est l'idée de la dérivation logarithmique.
Exemple 3 : une tangente. La tangente à y = \ln x en x = e a pour pente \frac{1}{e} et passe par (e, 1) :
Cette droite passe par l'origine.
Erreurs fréquentes
- Écrire \frac{1}{u} et s'arrêter là. \frac{d}{dx}\ln(x^2 + 1) n'est pas \frac{1}{x^2+1}. Il faut multiplier par la dérivée de l'intérieur, 2x.
- Confondre \ln(x^2) et (\ln x)^2. \frac{d}{dx}\ln(x^2) = \frac{2}{x}, mais \frac{d}{dx}(\ln x)^2 = \frac{2\ln x}{x}.
- Utiliser \frac{1}{x} pour d'autres bases. \frac{d}{dx}\log_{10} x demande le facteur supplémentaire \frac{1}{\ln 10}. Voir la dérivée de log x.
- Oublier le domaine de définition. \ln x n'existe que pour x > 0. Pour des valeurs négatives, utilisez \ln\lvert x\rvert, qui a la même dérivée \frac{1}{x}.
Pour aller plus loin sur les logarithmes et les exponentielles, lisez dérivées des fonctions exponentielles et logarithmes, ou consultez la page de la fonction logarithme népérien.
Entraîne-toi maintenant
Exponentielles et logarithmes
Résous de vrais problèmes sur ce thème avec une correction immédiate, des indices et une solution pas à pas pour chaque réponse. Gratuit, sans inscription pour commencer.
S'entraîner sur cette leçon