Derivada de ln x: fórmula, demonstração e exemplos
A derivada de ln x é 1/x. Veja por quê, com a demonstração a partir de eʸ = x, a versão com a regra da cadeia para ln(u), o gráfico e exemplos como ln(2x).
Derivadas exponenciais e logarítmicas Atualizado 3 min de leitura
Visão geral
- Derivada
- \dfrac{1}{x} para x > 0
- Com a regra da cadeia
- \dfrac{d}{dx}\ln u = \dfrac{u'}{u}
- Forma com módulo
- \dfrac{d}{dx}\ln\lvert x\rvert = \dfrac{1}{x} para x \ne 0
- Domínio de ln x
- x > 0
- Versão para integrais
- \int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C
Nesta página
A derivada de \ln x é \dfrac{1}{x}. É um dos resultados mais usados do cálculo, e preenche uma lacuna que a regra da potência deixa: nenhuma potência de x tem \frac{1}{x} como derivada, mas o logaritmo natural tem.
Gráfico de ln x e de sua derivada
Como \frac{1}{x} é sempre positiva para x > 0, o logaritmo natural é sempre crescente. E como \frac{1}{x} fica menor à medida que x cresce, \ln x sobe cada vez mais devagar, e é por isso que tem concavidade para baixo.
Demonstração de que a derivada de ln x é 1/x
Seja y = \ln x. Pela definição do logaritmo natural, isso significa
Derive os dois lados em relação a x, usando derivação implícita no lado esquerdo:
O último passo usa e^y = x de novo. A demonstração se apoia no fato de que a derivada de e^x é e^x, que você encontra na página da derivada de eˣ.
A versão com a regra da cadeia: derivada de ln(u)
A maioria dos logaritmos que você vai encontrar tem algo diferente de x dentro. Com a regra da cadeia:
Em palavras: a derivada da função de dentro, sobre a função de dentro.
| Função | Função de dentro u | Derivada \frac{u'}{u} |
|---|---|---|
| \ln(2x) | 2x | \frac{2}{2x} = \frac{1}{x} |
| \ln(x^2 + 1) | x^2 + 1 | \frac{2x}{x^2 + 1} |
| \ln(\sin x) | \sin x | \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x |
| \ln(e^x + 3) | e^x + 3 | \frac{e^x}{e^x + 3} |
| \ln(\ln x) | \ln x | \frac{1}{x\ln x} |
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: um produto. Derive f(x) = x^3 \ln x com a regra do produto:
Exemplo 2: simplifique primeiro. Derive g(x) = \ln\!\left(\dfrac{x^4}{x + 1}\right). As propriedades dos logaritmos transformam o quociente em uma diferença:
Isso é muito mais rápido do que usar a regra do quociente dentro da regra da cadeia. Separar os logaritmos antes de derivar é a ideia por trás da derivação logarítmica.
Exemplo 3: uma reta tangente. A tangente a y = \ln x em x = e tem inclinação \frac{1}{e} e passa por (e, 1):
Essa reta passa pela origem.
Erros comuns
- Escrever \frac{1}{u} e parar. \frac{d}{dx}\ln(x^2 + 1) não é \frac{1}{x^2+1}. Multiplique pela derivada de dentro, 2x.
- Tratar \ln(x^2) e (\ln x)^2 como iguais. \frac{d}{dx}\ln(x^2) = \frac{2}{x}, mas \frac{d}{dx}(\ln x)^2 = \frac{2\ln x}{x}.
- Usar \frac{1}{x} para outras bases. \frac{d}{dx}\log_{10} x precisa do fator extra \frac{1}{\ln 10}. Veja a derivada de log x.
- Esquecer o domínio. \ln x só existe para x > 0. Para entradas negativas use \ln\lvert x\rvert, que tem a mesma derivada, \frac{1}{x}.
Para mais sobre logaritmos e exponenciais juntos, leia derivadas de funções exponenciais e logarítmicas, ou veja a página da função logaritmo natural.
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