AP Calculus unité 8 : révision des applications de l'intégration

L'unité 8 d'AP Calculus, applications de l'intégration (Applications of Integration), est celle où les intégrales mesurent des choses. L'intégrale d'une vitesse est un déplacement. L'intégrale d'une différence de hauteurs est une aire. L'intégrale de l'aire d'une section est un volume. L'idée derrière chaque notion est la même : découper la grandeur en tranches fines, écrire une tranche, et les additionner avec une intégrale.

Ce que couvre l'unité 8

Le College Board découpe l'unité en ces notions. Chaque ligne renvoie à une leçon où vous pouvez vous entraîner avec de nouveaux nombres à chaque fois.

Les idées clés

La variation nette est l'intégrale d'un taux. Si x(t) est la position et v(t) la vitesse, alors x(b) = x(a) + \int_a^b v(t)\,dt. La distance totale utilise |v(t)|, donc découpez l'intégrale partout où v change de signe.

L'aire entre deux courbes, c'est le haut moins le bas. Trouvez où les courbes se coupent, déterminez laquelle est au-dessus, et intégrez la différence. Si les courbes s'écrivent plus facilement sous la forme x = g(y), intégrez la droite moins la gauche par rapport à y.

Le volume est l'intégrale de l'aire d'une section. Pour des sections connues, écrivez l'aire A(x) d'une tranche et calculez \int_a^b A(x)\,dx. Pour un disque, A(x) = \pi R^2. Pour un anneau, A(x) = \pi\left(R^2 - r^2\right), où R et r sont des distances à l'axe de rotation. Les guides sur l'aire entre deux courbes et les volumes de révolution vont plus loin.

Exemples de questions

1. Valeur moyenne. La valeur moyenne de f(x) = x^2 sur [0, 3] vaut \frac{1}{3}\int_0^3 x^2\,dx = \frac{1}{3}\cdot 9 = 3.

2. Déplacement et distance. Pour v(t) = t^2 - 4 sur [0, 3], le déplacement vaut \int_0^3 (t^2 - 4)\,dt = 9 - 12 = -3. La vitesse change de signe en t = 2, donc la distance totale vaut

3. Aire entre deux courbes. Sur [0, 1], y = x est au-dessus de y = x^2, donc l'aire vaut \int_0^1 (x - x^2)\,dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}.

4. Méthode des anneaux. Faites tourner la même région autour de l'axe des x. Le rayon extérieur vaut x et le rayon intérieur x^2 :

5. Sections carrées. Si la même région est la base d'un solide dont les sections perpendiculaires à l'axe des x sont des carrés, chaque côté mesure x - x^2 :

6. BC : longueur d'arc. Pour y = \frac{2}{3}x^{3/2} sur [0, 3], y' = \sqrt{x}, donc

Comment réviser l'unité 8

• Esquissez d'abord la région. Un rapide croquis montre quelle courbe est au-dessus et d'où partent les rayons.
• Mesurez les rayons depuis l'axe de rotation. Pour une rotation autour de y = -1, le rayon vaut f(x) + 1, et non f(x).
• Posez l'intégrale, puis calculez. Les questions à réponse rédigée disent souvent « écrivez, sans la calculer, une expression intégrale ». Entraînez-vous à poser proprement les intégrales avec les bonnes bornes et le \pi.
• Distinguez déplacement et distance. Chaque fois que vous lisez « distance totale », vérifiez où la vitesse est négative.
• Travaillez des séries d'exercices. Essayez les exercices sur l'aire entre deux courbes et les exercices sur les volumes de révolution, tous avec solutions complètes.

Pour le plan complet du cours, consultez le guide AP Calculus AB ou le guide AP Calculus BC.

AP et Advanced Placement sont des marques déposées du College Board, qui n'est pas affilié à PracticeCalculus et ne cautionne pas ce guide. Les noms et les poids des unités proviennent du cadre de cours du College Board ; consultez-le pour toute modification.