Dérivées exponentielle et logarithme : exercices corrigés

Ces exercices sur les dérivées des fonctions exponentielle et logarithme commencent par les règles de base, puis font intervenir la dérivation en chaîne, les propriétés du logarithme et la dérivation logarithmique. Cherchez chaque exercice d'abord. Les réponses suivent la liste, puis viennent les solutions détaillées.

Les règles à connaître :

Avec une fonction intérieure u : (e^u)' = e^u u' et (\ln u)' = \frac{u'}{u}. Les démonstrations se trouvent sur les pages dérivée de e^x, dérivée de ln x et dérivée de 2^x.

Exercices

Règles de base

1. y = 5e^x - \ln x
2. y = 2^x
3. y = \log_{10} x

Dérivation en chaîne

4. y = e^{3x}
5. y = \ln(x^2 + 1)
6. y = 5^{x^2}

Utiliser d'abord les propriétés du logarithme

7. y = \ln(5x)
8. y = \ln\sqrt{x^2 + 4}
9. y = \ln\!\left(\dfrac{x + 1}{x - 1}\right)

Avec d'autres règles

10. y = x^2\ln x
11. y = \dfrac{e^x}{1 + e^x}
12. y = x^x pour x > 0

Réponses

Solutions détaillées

1. Dérivez chaque terme :

2. Utilisez (a^x)' = a^x\ln a avec a = 2 :

3. Utilisez (\log_a x)' = \frac{1}{x\ln a} avec a = 10, ou écrivez d'abord \log_{10} x = \frac{\ln x}{\ln 10} :

4. L'intérieur est 3x, de dérivée 3 :

5. Utilisez (\ln u)' = \frac{u'}{u} avec u = x^2 + 1 :

6. Utilisez (a^u)' = a^u\ln a\cdot u' avec a = 5 et u = x^2 :

7. Décomposez le logarithme : \ln(5x) = \ln 5 + \ln x. Le premier terme est une constante :

La dérivation en chaîne donne le même résultat : \frac{5}{5x} = \frac{1}{x}.

8. Une racine carrée est une puissance \frac{1}{2}, et le logarithme fait passer les puissances devant :

9. Décomposez le quotient : y = \ln(x + 1) - \ln(x - 1). Alors

C'est bien plus court que la règle du quotient combinée à la dérivation en chaîne.

10. Utilisez la règle du produit :

11. Utilisez la règle du quotient. Le numérateur et le dénominateur ont tous deux pour dérivée e^x :

12. Ni la règle de la puissance ni la règle de l'exponentielle ne conviennent, car x est aux deux endroits. Utilisez la dérivation logarithmique : prenez le \ln des deux membres.

Dérivez les deux membres, avec la règle du produit à droite :

Erreurs fréquentes sur ces exercices

• Appliquer la règle de la puissance à e^x ou 2^x. (2^x)' n'est pas x\cdot 2^{x-1}. La variable est dans l'exposant, il faut donc 2^x\ln 2.
• Écrire \ln(x^2 + 1)' = \frac{1}{x^2 + 1}. On oublie alors la dérivée intérieure 2x au numérateur.
• Mal décomposer un logarithme. \ln(x + 1) \ne \ln x + \ln 1. Les propriétés du logarithme s'appliquent aux produits et aux quotients, pas aux sommes.
• Traiter x^x comme x\cdot x^{x-1}. L'exercice 12 demande une dérivation logarithmique. Voir la dérivée de x^x pour en savoir plus.

Continuer à s'entraîner

Ces 12 exercices utilisent des valeurs fixes. Pour un entraînement illimité avec de nouvelles fonctions et une correction immédiate, essayez la leçon sur les dérivées exponentielles et logarithmiques, puis la leçon sur la dérivation en chaîne avec les exponentielles. Pour plus d'exemples corrigés, lisez le guide des dérivées exponentielles et logarithmiques.