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Dérivées exponentielles et logarithmiques

Dérivée de 2ˣ et de aˣ : formule, démonstration et exemples

La dérivée de 2ˣ est 2ˣ ln 2, et celle de aˣ est aˣ ln a. Démonstration en écrivant aˣ = e^(x ln a), exemples composés et courbe.

Dérivées exponentielles et logarithmiques Mis à jour Lecture : 2 min

En bref

\frac{d}{dx}\,2^x = 2^x\ln 2
Dérivée de 2ˣ
2^x\ln 2 \approx 0.693\cdot 2^x
Base quelconque
\dfrac{d}{dx}a^x = a^x\ln a pour a > 0
Forme composée
\dfrac{d}{dx}a^u = a^u\ln a\cdot u'
Réécriture clé
a^x = e^{x\ln a}
Version intégrale
\int 2^x\,dx = \dfrac{2^x}{\ln 2} + C
Sur cette page
  1. Courbe de 2ˣ et de sa dérivée
  2. Démonstration : réécrire en base e
  3. La taille du facteur ln a
  4. Version composée et exemples
  5. 2ˣ ou x²
  6. Erreurs fréquentes

La dérivée de 2^x est 2^x\ln 2. Le même schéma fonctionne pour toute base positive :

\frac{d}{dx}\,2^x = 2^x\ln 2 \qquad\qquad \frac{d}{dx}\,a^x = a^x\ln a

Comme \ln 2 \approx 0.693, la pente de 2^x vaut toujours environ 69\% de sa hauteur.

Courbe de 2ˣ et de sa dérivée

Courbe de y = 2ˣ et de sa dérivée y = 2ˣ ln 2
La dérivée a la même forme que 2^x, réduite d'un facteur \ln 2 \approx 0.693. En x = 0, la fonction vaut 1 et la pente vaut \ln 2.

Démonstration : réécrire en base e

Toute base positive peut s'écrire comme une puissance de e, car a = e^{\ln a} :

a^x = \left(e^{\ln a}\right)^x = e^{x\ln a}

Ici, \ln a n'est qu'une constante, donc la règle de dérivation en chaîne et la dérivée de eˣ donnent

\frac{d}{dx}e^{x\ln a} = e^{x\ln a}\cdot\ln a = a^x\ln a

Pour a = 2, on obtient 2^x\ln 2. Pour a = e, on obtient e^x\ln e = e^x : c'est pour cela que e est la base naturelle, la seule sans facteur supplémentaire.

La taille du facteur ln a

Base a \ln a Dérivée de a^x
2 \approx 0.693 2^x\ln 2
e 1 e^x
3 \approx 1.099 3^x\ln 3
10 \approx 2.303 10^x\ln 10
\frac{1}{2} \approx -0.693 -\left(\frac{1}{2}\right)^x\ln 2

Pour 0 < a < 1, \ln a est négatif, donc a^x est décroissante. Cela correspond à la courbe d'une décroissance exponentielle.

Version composée et exemples

\frac{d}{dx}a^u = a^u\ln a\cdot u'

Exemple 1. \frac{d}{dx}2^{3x} = 2^{3x}\ln 2\cdot 3 = 3\ln 2\cdot 2^{3x}.

Exemple 2. \frac{d}{dx}3^{x^2} = 3^{x^2}\ln 3\cdot 2x = 2x\ln 3\cdot 3^{x^2}.

Exemple 3. \frac{d}{dx}2^{-x} = -2^{-x}\ln 2.

Exemple 4 : règle du produit. Pour f(x) = x\cdot 2^x, la règle du produit donne

f'(x) = 2^x + x\cdot 2^x\ln 2 = 2^x(1 + x\ln 2)

Exemple 5 : taux de croissance. Une population P(t) = 500\cdot 2^t double à chaque unité de temps. Son taux de croissance en t = 3 est P'(3) = 500\cdot 8\ln 2 \approx 2773 par unité de temps.

2ˣ ou x²

Fonction Base Exposant Règle Dérivée
x^2 variable constant règle de la puissance 2x
2^x constante variable règle de l'exponentielle 2^x\ln 2
x^x variable variable dérivation logarithmique x^x(\ln x + 1)

Quand la base et l'exposant varient tous les deux, aucune des deux règles ne s'applique seule. Voir la dérivée de xˣ.

Erreurs fréquentes

  1. Utiliser la règle de la puissance : x\cdot 2^{x-1}. Ce n'est pas la bonne règle pour un exposant variable.
  2. Oublier \ln 2. Ce ne serait correct que pour la base e.
  3. Écrire \log 2 au lieu de \ln 2. Le facteur est le logarithme népérien.

Le sens inverse, \int 2^x\,dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C, est traité sur la page intégrale de 2ˣ. La fonction réciproque, \log_2 x, est étudiée sur la page dérivée de log x. Voir aussi les fonctions exponentielles.

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Questions fréquentes

Quelle est la dérivée de 2^x ?
La dérivée de 2^x est 2^x\ln 2, soit environ 0.693\cdot 2^x.

Quelle est la dérivée de a^x ?
Pour toute constante a > 0, \frac{d}{dx}a^x = a^x\ln a. Par exemple, \frac{d}{dx}10^x = 10^x\ln 10 et \frac{d}{dx}3^x = 3^x\ln 3.

Pourquoi la dérivée de 2^x n'est-elle pas x·2^(x−1) ?
C'est la règle de la puissance, qui exige une base variable et un exposant constant. Dans 2^x, la base est constante et l'exposant est la variable, donc on utilise la règle de l'exponentielle.

Quelle est la dérivée de 2^(3x) ?
Par la règle de dérivation en chaîne, 2^{3x}\ln 2\cdot 3 = 3\ln 2\cdot 2^{3x}.

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