Intégrale de √(1−x²) : formule, méthode et exemples

L'intégrale de \sqrt{1-x^2} est \dfrac{1}{2}\left(x\sqrt{1-x^2} + \arcsin x\right) + C. C'est le premier exemple classique de changement de variable trigonométrique, et c'est ainsi que l'analyse démontre la formule de l'aire d'un disque.

Pour un cercle de rayon a :

Graphique : la moitié du cercle unité

Comment intégrer √(1−x²) pas à pas

1. Changer de variable. Poser x = \sin\theta avec -\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}. Alors dx = \cos\theta\,d\theta et \sqrt{1-\sin^2\theta} = \cos\theta, qui n'est pas négatif sur cet intervalle.
2. Réécrire. \int \sqrt{1-x^2}\,dx = \int \cos\theta\cdot\cos\theta\,d\theta = \int \cos^2\theta\,d\theta
3. Linéariser avec \cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}, comme sur la page intégrale de cos²x : \int \cos^2\theta\,d\theta = \frac{\theta}{2} + \frac{\sin 2\theta}{4} + C = \frac{\theta}{2} + \frac{\sin\theta\cos\theta}{2} + C
4. Revenir à x. \theta = \arcsin x, \sin\theta = x et \cos\theta = \sqrt{1-x^2} : \frac{1}{2}\arcsin x + \frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2} + C

La version générale utilise x = a\sin\theta de la même façon. Le guide du changement de variable trigonométrique traite les deux autres formes de racine, \sqrt{a^2+x^2} et \sqrt{x^2-a^2}.

Vérification par dérivation

On dérive chaque morceau. Avec la règle du produit :

et \frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}. En les additionnant :

La moitié de cela vaut \sqrt{1-x^2}, comme prévu.

Intégrales définies et aire d'un disque

Sur l'intervalle complet, le terme avec la racine s'annule aux deux bornes :

En doublant pour inclure la moitié inférieure, on obtient l'aire du disque unité, \pi. Avec un rayon a, les mêmes étapes donnent \int_{-a}^{a}\sqrt{a^2-x^2}\,dx = \frac{\pi a^2}{2}, donc un disque entier a pour aire \pi a^2.

Exemples corrigés

Exemple 1 : une portion de disque. Calculer \int_0^{1/2}\sqrt{1-x^2}\,dx.

Interprétation géométrique : un secteur de 30^\circ d'aire \frac{\pi}{12} plus un triangle d'aire \frac{\sqrt{3}}{8}.

Exemple 2 : rayon 3. \int_{-3}^{3}\sqrt{9-x^2}\,dx = \frac{9\pi}{2}, la moitié d'un disque de rayon 3. Aucun calcul de primitive n'est nécessaire une fois la forme reconnue.

Exemple 3 : une primitive générale. Avec a = 2 :

Exemple 4 : cercle décalé. \int_0^2\sqrt{2x - x^2}\,dx. Forme canonique : 2x - x^2 = 1 - (x-1)^2. C'est le demi-cercle unité centré en x = 1, donc le résultat vaut \frac{\pi}{2}.

Erreurs fréquentes

1. Essayer u = 1 - x^2. Il faudrait un x\,dx pour correspondre à du, et il n'y en a pas.
2. Oublier de revenir à la variable de départ. Un résultat en \theta n'est pas terminé. Utilisez un triangle rectangle de côté opposé x et d'hypoténuse 1 pour lire \cos\theta = \sqrt{1-x^2}.
3. Oublier le \frac{a^2}{2}. Dans la formule générale, le terme en arcsin porte \frac{a^2}{2}, et non \frac{1}{2}.
4. La confondre avec \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}. Celle-ci s'intègre directement en \arcsin x ; voir l'intégrale de 1/√(1−x²).