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Intégrales exponentielles et logarithmiques

Intégrale de ln x : formule, méthode et exemples

L'intégrale de ln x vaut x ln x − x + C. L'intégration par parties pas à pas, la vérification, un graphique et des exemples comme ln(2x) et (ln x)².

Intégrales exponentielles et logarithmiques Mis à jour Lecture : 3 min

En bref

\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C
Primitive
x\ln x - x + C
Méthode
Intégration par parties avec u = \ln x, dv = dx
De 1 à e
1
De 0 à 1
-1 (impropre, converge)
Logarithme de base b
\int \log_b x\,dx = \frac{x\ln x - x}{\ln b} + C
Sur cette page
  1. Graphique de ln x et de sa primitive
  2. Comment intégrer ln x pas à pas
  3. Vérification par dérivation
  4. Intégrales définies
  5. Exemples corrigés
  6. Erreurs fréquentes

L'intégrale de \ln x est x\ln x - x + C. Aucune règle inverse ne défait directement le logarithme, donc la méthode habituelle est une intégration par parties avec un facteur 1 caché.

\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C

Graphique de ln x et de sa primitive

y = ln x et sa primitive x ln x − x
L'aire hachurée de 1 à e vaut exactement 1. La primitive en pointillés a son minimum en x = 1, là où \ln x passe du négatif au positif.

Comment intégrer ln x pas à pas

On utilise l'intégration par parties, \int u\,dv = uv - \int v\,du.

  1. Écrire \ln x comme un produit. \int\ln x\,dx = \int \ln x\cdot 1\,dx.
  2. Choisir les facteurs. u = \ln x et dv = dx. Alors du = \frac{1}{x}\,dx et v = x.
  3. Appliquer la formule. \int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int 1\,dx
  4. Terminer. \int 1\,dx = x, donc le résultat est x\ln x - x + C.

Pourquoi cela marche-t-il ? En dérivant \ln x, on obtient \frac{1}{x}, qui simplifie le x venant de v. Dans l'ordre LIATE, les logarithmes viennent en premier, donc ils jouent presque toujours le rôle de u. Le guide de l'intégration par parties en dit plus sur le choix de u.

Vérification par dérivation

Avec la règle du produit et la dérivée de ln x :

\frac{d}{dx}\left(x\ln x - x\right) = \ln x + x\cdot\frac{1}{x} - 1 = \ln x + 1 - 1 = \ln x

Intégrales définies

De 1 à e :

\int_1^e\ln x\,dx = (e\cdot 1 - e) - (1\cdot 0 - 1) = 0 + 1 = 1

De 1 à 2 : (2\ln 2 - 2) - (0 - 1) = 2\ln 2 - 1 \approx 0.386.

De 0 à 1 : c'est une intégrale impropre, car \ln x \to -\infty près de 0. Avec la limite x\ln x \to 0 quand x \to 0^+ :

\int_0^1 \ln x\,dx = (0 - 1) - \lim_{a\to 0^+}(a\ln a - a) = -1

Le résultat est négatif car \ln x < 0 sur (0, 1) : l'aire est sous l'axe.

Exemples corrigés

Exemple 1 : une constante à l'intérieur. \int\ln(2x)\,dx. On pose u = 2x, dx = \frac{du}{2} :

\frac{1}{2}(u\ln u - u) + C = x\ln(2x) - x + C

Exemple 2 : un logarithme décalé. \int\ln(x+1)\,dx. On pose u = x + 1, du = dx :

(x+1)\ln(x+1) - (x+1) + C

Le -1 peut être absorbé dans C, donc (x+1)\ln(x+1) - x + C est aussi correct.

Exemple 3 : un logarithme au carré. \int(\ln x)^2\,dx. On prend u = (\ln x)^2, dv = dx, donc du = \frac{2\ln x}{x}\,dx et v = x :

\int(\ln x)^2\,dx = x(\ln x)^2 - 2\int\ln x\,dx = x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x + C

Exemple 4 : une puissance de x à l'intérieur. \int\ln(x^3)\,dx = 3\int\ln x\,dx = 3x\ln x - 3x + C, après la propriété \ln(x^3) = 3\ln x.

Exemple 5 : base 10. Comme \log_{10}x = \frac{\ln x}{\ln 10}, \int\log_{10}x\,dx = \frac{x\ln x - x}{\ln 10} + C.

Erreurs fréquentes

  1. Répondre \frac{1}{x}. C'est la dérivée de \ln x. L'intégrale de \frac{1}{x} est \ln\lvert x\rvert ; voir l'intégrale de 1/x.
  2. Choisir u = 1, dv = \ln x\,dx. Il faudrait alors \int\ln x\,dx pour trouver v, c'est-à-dire précisément ce que l'on cherche.
  3. Perdre le -x. x\ln x seul a pour dérivée \ln x + 1, soit un de trop.
  4. Confondre \ln x et \frac{\ln x}{x}. \int\frac{\ln x}{x}\,dx = \frac{(\ln x)^2}{2} + C relève du changement de variable, pas de l'intégration par parties.

Pour un logarithme multiplié par une puissance de x, voir l'intégrale de x ln x. Pour un logarithme au dénominateur, voir l'intégrale de 1/(x ln x).

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Questions fréquentes

Quelle est l'intégrale de ln x ?
C'est x\ln x - x + C, pour x > 0.

Quelle est l'intégrale de ln(2x) ?
C'est x\ln(2x) - x + C. Comme \ln(2x) = \ln 2 + \ln x, on peut aussi intégrer les morceaux et obtenir x\ln 2 + x\ln x - x + C, ce qui revient au même.

Quelle est l'intégrale de (ln x)² ?
C'est x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x + C. On intègre par parties avec u = (\ln x)^2, dv = dx, puis on utilise l'intégrale de \ln x pour le morceau restant.

Combien vaut l'intégrale de ln x entre 0 et 1 ?
Elle vaut -1. Elle est impropre car \ln x \to -\infty en 0, mais x\ln x \to 0, donc l'intégrale vaut (0 - 1) - 0 = -1.

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