practicecalculus
Commencer
practicecalculus
Puissances, racines et fonctions rationnelles

Intégrale de 1/x² : formule, démonstration et exemples

L'intégrale de 1/x² vaut -1/x + C. L'écrire x^(-2), vérifier en dérivant, et des intégrales impropres comme de 1 à l'infini et le piège classique de -1 à 1.

Puissances, racines et fonctions rationnelles Mis à jour Lecture : 2 min

En bref

\int \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{x} + C
Primitive
-\dfrac{1}{x} + C
D''abord réécrire
\dfrac{1}{x^2} = x^{-2}
Valable pour
x \ne 0
Intégrale impropre
\int_1^\infty \dfrac{1}{x^2}\,dx = 1
Vérification
\dfrac{d}{dx}\left(-\dfrac{1}{x}\right) = \dfrac{1}{x^2}
Sur cette page
  1. Graphique de 1/x² et de l'aire sous la courbe
  2. Démonstration pas à pas
  3. Vérification par dérivation
  4. Intégrales impropres
  5. Le piège classique : intégrer à travers zéro
  6. Variante par changement de variable
  7. Exemples corrigés
  8. Erreurs fréquentes

L'intégrale de \dfrac{1}{x^2} est -\dfrac{1}{x} + C. Contrairement à \frac{1}{x}, celle-ci se traite avec la règle de la puissance inverse ordinaire.

\int \frac{1}{x^2}\,dx = \int x^{-2}\,dx = -\frac{1}{x} + C

Graphique de 1/x² et de l'aire sous la courbe

Aire sous y = 1/x² de 1 à 3, avec la primitive y = -1/x
L'aire hachurée vaut -\frac{1}{3} - (-1) = \frac{2}{3}. La courbe en pointillés y = -\frac{1}{x} est toujours croissante, car \frac{1}{x^2} est toujours positif.

Démonstration pas à pas

  1. Réécrire sous forme de puissance : \frac{1}{x^2} = x^{-2}.
  2. Appliquer la règle de la puissance inverse avec n = -2.
  3. Ajouter un à l'exposant : -2 + 1 = -1.
  4. Diviser par -1 : \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}.
  5. Ajouter C.

Vérification par dérivation

\frac{d}{dx}\left(-x^{-1}\right) = -(-1)x^{-2} = \frac{1}{x^2} \checkmark

La règle dans le sens direct se trouve sur la page dérivée de 1/x², et la page dérivée de 1/x montre que \frac{d}{dx}\frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2}, c'est-à-dire le même fait lu dans l'autre sens.

Intégrales impropres

L'aire sous \frac{1}{x^2} jusqu'à l'infini est finie :

\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{b\to\infty}\left[-\frac{1}{x}\right]_1^b = \lim_{b\to\infty}\left(1 - \frac{1}{b}\right) = 1

Comparez avec \int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx, qui diverge car \ln b \to \infty. Ce contraste est le point de départ du critère de Riemann (test des séries et intégrales en p). La leçon sur les bornes d'intégration infinies le traite en détail.

Près de zéro, c'est l'inverse : \int_0^1 \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{a\to 0^+}\left(\frac{1}{a} - 1\right) = \infty.

Le piège classique : intégrer à travers zéro

En remplaçant dans la primitive, on obtient

\left[-\frac{1}{x}\right]_{-1}^{1} = -1 - 1 = -2

Mais \frac{1}{x^2} est positive partout, donc son intégrale ne peut pas être négative. L'erreur vient de ce que \frac{1}{x^2} a une asymptote verticale en x = 0 : le théorème fondamental de l'analyse ne s'applique pas sur [-1, 1]. On coupe l'intégrale en 0 : chaque moitié diverge, donc l'intégrale entière diverge.

Variante par changement de variable

Avec u = ax + b :

\int \frac{1}{(ax + b)^2}\,dx = -\frac{1}{a(ax + b)} + C

Par exemple, \int \frac{1}{(2x + 1)^2}\,dx = -\frac{1}{2(2x + 1)} + C. Vérification : la dérivée vaut \frac{1}{2}(2x + 1)^{-2}\cdot 2 = \frac{1}{(2x + 1)^2}.

Exemples corrigés

Exemple 1. \int \frac{3}{x^2}\,dx = -\frac{3}{x} + C.

Exemple 2. \int \frac{x + 1}{x^2}\,dx = \int\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right)dx = \ln\lvert x\rvert - \frac{1}{x} + C. On sépare d'abord, puis on utilise l'intégrale de 1/x pour le premier morceau.

Exemple 3. \int_2^4 \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}.

Exemple 4. \int \frac{1}{x^3}\,dx = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C.

Erreurs fréquentes

  1. Écrire \ln(x^2). Le logarithme n'apparaît que pour \frac{1}{x}.
  2. Écrire -\frac{1}{x^3} ou \frac{1}{x}. L'exposant augmente de un (-2 \to -1), et on divise par -1, ce qui change le signe.
  3. Intégrer à travers une asymptote. Vérifiez toujours qu'il n'y a pas de division par zéro dans l'intervalle.
  4. Écrire \frac{1}{3x^3} en traitant \frac{1}{x^2} comme (x^2) et en intégrant cela. Réécrivez d'abord x^{-2}.

Essayez les exercices sur les intégrales impropres pour travailler le cas infini.

Entraîne-toi maintenant

La règle de la puissance à l'envers

Résous de vrais problèmes sur ce thème avec une correction immédiate, des indices et une solution pas à pas pour chaque réponse. Gratuit, sans inscription pour commencer.

S'entraîner sur cette leçon

Questions fréquentes

Quelle est l'intégrale de 1/x² ?
L'intégrale de \frac{1}{x^2} est -\frac{1}{x} + C.

Combien vaut l'intégrale de 1/x² de 1 à l'infini ?
Elle vaut 1. La primitive -\frac{1}{x} passe de -1 en x = 1 à 0 quand x \to \infty, soit une variation de 1.

Pourquoi l'intégrale de 1/x² entre -1 et 1 ne vaut-elle pas -2 ?
Le calcul direct donne -1 - 1 = -2, mais c'est faux. \frac{1}{x^2} tend vers l'infini en x = 0, donc le théorème fondamental ne s'applique pas. L'intégrale diverge en fait vers l'infini.

L'intégrale de 1/x² est-elle égale à ln(x²) ?
Non. Le \ln n'apparaît que pour \frac{1}{x}. Pour \frac{1}{x^2}, la règle de la puissance inverse fonctionne et donne -\frac{1}{x} + C.

Rédigé par l'équipe PracticeCalculus

Nous créons des leçons d'analyse interactives et rédigeons chaque page pour qu'elle soit claire et juste. Tu as repéré une erreur ? Dis-le-nous et nous la corrigerons.

Autres intégrales

Intégrale de 1/x \int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C L'intégrale de 1/x vaut ln|x| + C. Pourquoi la règle de la puissance échoue ici, d'où vient la valeur absolue, et comment traiter 1/(ax + b) et f'/f. Intégrale de x² \int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C L'intégrale de x² vaut x³/3 + C. Règle de la puissance inverse, preuve par les sommes de Riemann, intégrales définies, forme (ax + b)² et erreurs. Intégrale de √x \int \sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + C L'intégrale de √x vaut (2/3)x^(3/2) + C. Écrire la racine comme une puissance, vérifier en dérivant, et des exemples avec √(ax + b), 1/√x et des bornes.