AP Calculus Unidade 4: revisão da derivada em contexto (AB e BC)

AP Calculus Unidade 4, Aplicações contextuais da derivada (Contextual Applications of Differentiation), é onde as derivadas começam a responder perguntas reais. Com que rapidez uma partícula se move? Com que rapidez o nível da água sobe? Qual é uma boa estimativa de \sqrt{4.1} sem calculadora? A matemática é a mesma das Unidades 2 e 3. A habilidade nova é ler a situação e explicar a resposta com unidades.

O que a Unidade 4 cobre

O College Board divide a unidade nos tópicos abaixo. Cada linha leva a uma lição em que você pratica com números novos a cada vez.

As ideias principais

Uma derivada é uma taxa com unidades. Se W(t) é a quantidade de galões de água em um tanque depois de t horas, então W'(3) = -12 significa "em t = 3 horas, a quantidade de água está diminuindo a 12 galões por hora." Sempre informe o instante, a taxa, o sentido e as unidades.

O movimento tem vocabulário próprio. A velocidade é v(t) = x'(t) e a aceleração é a(t) = v'(t). A rapidez (módulo da velocidade) é |v(t)|. A partícula se move para a direita quando v > 0 e para a esquerda quando v < 0. Ela acelera quando v e a têm o mesmo sinal.

Taxas relacionadas ligam duas grandezas que variam. Faça um desenho, escreva uma equação válida em todo instante, derive os dois lados em relação a t e só então substitua os números. Substituir cedo demais transforma uma grandeza variável em constante.

Uma reta tangente é uma boa estimativa local. Perto de x = a:

A regra de L'Hôpital resolve limites indeterminados. Leia a página completa da regra de L'Hôpital e os guias de taxas relacionadas e de aproximação linear.

Questões de exemplo

1. Movimento. Uma partícula se move ao longo de uma reta com x(t) = t^3 - 6t^2 + 9t. Então v(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t - 1)(t - 3) e a(t) = 6t - 12. Em t = 1.5, v = -2.25 e a = -3. As duas são negativas, então a partícula se move para a esquerda e está acelerando.

2. Taxas relacionadas. Uma escada de 10 pés está apoiada em uma parede. A base escorrega para longe a 1 pé/s. Com que rapidez o topo escorrega para baixo quando a base está a 6 pés da parede? De x^2 + y^2 = 100:

Quando x = 6, y = 8, então 12(1) + 16\frac{dy}{dt} = 0 e \frac{dy}{dt} = -\frac{3}{4} pé/s. O topo escorrega para baixo a \frac{3}{4} pé/s.

3. Linearização. Com f(x) = \sqrt{x} em a = 4, f(4) = 2 e f'(4) = \frac{1}{4}, então \sqrt{4.1} \approx 2 + \frac{1}{4}(0.1) = 2.025. O valor real é cerca de 2.02485, então a estimativa fica um pouco acima, como a concavidade prevê.

4. Regra de L'Hôpital, usada duas vezes. O limite dá \frac{0}{0} nas duas vezes:

Como estudar a Unidade 4

• Escreva frases de contexto sempre. Pratique transformar f'(a) = k em uma frase completa com instante, taxa, sentido e unidades. É um ponto garantido nas dissertativas.
• Compare sinais para saber se acelera. Faça um quadro de sinais rápido para v e a em vez de adivinhar pelo gráfico da posição.
• Derive antes de substituir. Em taxas relacionadas, só grandezas fixas podem ser substituídas antes de derivar.
• Confira a forma antes de usar L'Hôpital. Escreva "isto é \frac{0}{0}" antes de usar a regra, senão o desenvolvimento não ganha pontos.
• Resolva listas de exercícios. Tente os exercícios de taxas relacionadas, os exercícios de aproximação linear e os exercícios de regra de L'Hôpital, todos com resolução completa.

Para o mapa completo do curso, veja o guia de AP Calculus AB ou o guia de AP Calculus BC.

AP e Advanced Placement são marcas registradas do College Board, que não tem vínculo com a PracticeCalculus e não endossa este guia. Os nomes e pesos das unidades vêm do referencial do curso (course framework) do College Board; confira lá se houver mudanças.