AP Calculus unité 4 : révision des dérivées en contexte
Révision de l'unité 4 d'AP Calculus AB et BC : dérivées en contexte, mouvement rectiligne, taux liés, approximation affine et règle de L'Hôpital.
Unités d'AP Calculus Mis à jour Lecture : 4 min
En bref
- Poids à l'examen AB
- 10–15 %
- Poids à l'examen BC
- 5–10 %
- Idées clés
- Taux en contexte, mouvement, taux de variation liés, approximation affine, règle de L'Hôpital
- BC uniquement
- Rien, AB et BC couvrent les mêmes notions dans l'unité 4
- Avant
- L'unité 5, les applications analytiques de la dérivation
- S'entraîner ici
- Analyse 1 : applications de la dérivée
Sur cette page
L'unité 4 d'AP Calculus, applications de la dérivation en contexte (Contextual Applications of Differentiation), est celle où les dérivées commencent à répondre à de vraies questions. À quelle vitesse se déplace une particule ? À quelle vitesse monte le niveau de l'eau ? Quelle est une bonne estimation de \sqrt{4.1} sans calculatrice ? Les mathématiques sont celles des unités 2 et 3. La nouvelle compétence consiste à lire la situation et à expliquer la réponse avec les unités.
| AP Calculus AB | AP Calculus BC | |
|---|---|---|
| Poids à l'examen | 10–15 % | 5–10 % |
| Notions en plus | aucune | aucune |
Ce que couvre l'unité 4
Le College Board découpe l'unité en ces notions. Chaque ligne renvoie à une leçon où vous pouvez vous entraîner avec de nouveaux nombres à chaque fois.
| Notion | Ce que vous apprenez | Entraînement |
|---|---|---|
| Dérivées en contexte | Le sens de f'(a), avec les unités | Notation et sens de la dérivée |
| Mouvement rectiligne | Position, vitesse, accélération et vitesse scalaire | Taux de variation instantané |
| Taux dans d'autres contextes | Taux de population, de température, de coût et de volume | Notation et sens de la dérivée |
| Introduction aux taux de variation liés | Relier des taux par une équation | Taux de variation liés |
| Résoudre des problèmes de taux liés | Échelles, cônes, ballons et ombres | Taux de variation liés |
| Linéarité locale | Approximation par la tangente, par excès ou par défaut | Approximation affine |
| Règle de L'Hôpital | Limites des formes \frac{0}{0} et \frac{\infty}{\infty} | Règle de L'Hôpital |
Les idées clés
Une dérivée est un taux avec des unités. Si W(t) est le nombre de gallons d'eau dans un réservoir après t heures, alors W'(3) = -12 signifie « à l'instant t = 3 heures, la quantité d'eau diminue de 12 gallons par heure ». Donnez toujours l'instant, le taux, le sens de variation et les unités.
Le mouvement a son propre vocabulaire. La vitesse est v(t) = x'(t) et l'accélération est a(t) = v'(t). La vitesse scalaire est |v(t)|. La particule se déplace vers la droite quand v > 0 et vers la gauche quand v < 0. Elle accélère quand v et a ont le même signe.
Les taux liés relient deux grandeurs qui varient. Faites un schéma, écrivez une équation valable à chaque instant, dérivez les deux membres par rapport à t, et seulement ensuite remplacez par les valeurs. Remplacer trop tôt transforme une grandeur variable en constante.
La tangente donne une bonne estimation locale. Près de x = a :
La règle de L'Hôpital traite les formes indéterminées. Lisez la page complète sur la règle de L'Hôpital, ainsi que les guides sur les taux de variation liés et l'approximation affine.
Exemples de questions
1. Mouvement. Une particule se déplace sur une droite avec x(t) = t^3 - 6t^2 + 9t. Alors v(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t - 1)(t - 3) et a(t) = 6t - 12. En t = 1.5, v = -2.25 et a = -3. Les deux sont négatives, donc la particule se déplace vers la gauche et accélère.
2. Taux de variation liés. Une échelle de 10 ft est appuyée contre un mur. Son pied s'éloigne à 1 ft/s. À quelle vitesse le haut glisse-t-il quand le pied est à 6 ft du mur ? À partir de x^2 + y^2 = 100 :
Quand x = 6, y = 8, donc 12(1) + 16\frac{dy}{dt} = 0 et \frac{dy}{dt} = -\frac{3}{4} ft/s. Le haut glisse vers le bas à \frac{3}{4} ft/s.
3. Approximation affine. Avec f(x) = \sqrt{x} en a = 4, f(4) = 2 et f'(4) = \frac{1}{4}, donc \sqrt{4.1} \approx 2 + \frac{1}{4}(0.1) = 2.025. La vraie valeur vaut environ 2.02485, donc l'estimation est légèrement trop grande, comme le prévoit la convexité.
4. La règle de L'Hôpital, appliquée deux fois. La limite donne \frac{0}{0} à chaque fois :
Comment réviser l'unité 4
- Rédigez à chaque fois une phrase de contexte. Entraînez-vous à transformer f'(a) = k en une phrase complète avec l'instant, le taux, le sens de variation et les unités. C'est un point de réponse rédigée sur lequel vous pouvez compter.
- Comparez les signes pour savoir si la particule accélère. Faites un rapide tableau de signes de v et a au lieu de deviner à partir du graphe de la position.
- Dérivez avant de remplacer. Dans les taux liés, seules les grandeurs fixes peuvent être remplacées avant de dériver.
- Vérifiez la forme avant d'appliquer L'Hôpital. Écrivez « c'est une forme \frac{0}{0} » avant d'utiliser la règle, sinon le travail ne rapporte pas de points.
- Travaillez des séries d'exercices. Essayez les exercices sur les taux de variation liés, les exercices sur l'approximation affine et les exercices sur la règle de L'Hôpital, tous avec solutions complètes.
Pour le plan complet du cours, consultez le guide AP Calculus AB ou le guide AP Calculus BC.
AP et Advanced Placement sont des marques déposées du College Board, qui n'est pas affilié à PracticeCalculus et ne cautionne pas ce guide. Les noms et les poids des unités proviennent du cadre de cours du College Board ; consultez-le pour toute modification.
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