Derivada de e^(−x): fórmula, passo a passo e exemplos
A derivada de e^(−x) é −e^(−x). Veja os passos com a regra da cadeia, a conferência pela regra do quociente, derivadas de ordem superior e exemplos.
Derivadas exponenciais e logarítmicas Atualizado 2 min de leitura
Visão geral
- Derivada
- -e^{-x}
- Derivada segunda
- e^{-x}
- Derivada de ordem n
- (-1)^n e^{-x}
- Mesma função que
- \dfrac{1}{e^x}
- Versão para integrais
- \int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C
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A derivada de e^{-x} é -e^{-x}. A exponencial continua a mesma, e a derivada do expoente -x, que é -1, coloca um sinal de menos na frente.
Passo a passo com a regra da cadeia
Pense em e^{-x} como e^u com u = -x. A regra da cadeia dá
O passo de fora usa o fato de que a derivada de eˣ é e^x.
Conferência pela regra do quociente
Como e^{-x} = \frac{1}{e^x}, a regra do quociente deve concordar:
Mesmo resultado, com mais trabalho. A regra da cadeia é o caminho rápido.
Gráfico de e^(−x) e de sua derivada
O gráfico de e^{-x} é o gráfico de e^x refletido em relação ao eixo y. Refletir da esquerda para a direita transforma toda inclinação de subida em descida, então a derivada é negativa. Quando x \to \infty, tanto a função quanto sua inclinação diminuem em direção a 0. Esse é o formato do decaimento exponencial.
Derivadas de ordem superior
Cada derivada traz mais um -1, então os sinais se alternam:
| Derivada | Resultado |
|---|---|
| f'(x) | -e^{-x} |
| f''(x) | e^{-x} |
| f'''(x) | -e^{-x} |
| f^{(n)}(x) | (-1)^n e^{-x} |
Como f''(x) = f(x), a função e^{-x} resolve a equação diferencial y'' = y, assim como e^x. E f'(x) = -f(x) diz que ela diminui a uma taxa igual ao seu próprio tamanho, que é a regra que define o decaimento exponencial.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: regra do produto. Para f(x) = xe^{-x}, a regra do produto dá
Então f cresce para x < 1, decresce para x > 1 e tem valor máximo f(1) = \frac{1}{e} \approx 0.368.
Exemplo 2: decaimento exponencial. Uma grandeza A(t) = 50e^{-0.2t} varia à taxa
Em t = 0 ela está diminuindo 10 unidades por unidade de tempo.
Exemplo 3: uma soma. Para g(x) = e^x + e^{-x},
Divida as duas por 2 e você obtém a derivada de cosh x, que é \sinh x.
Erros comuns
- Esquecer o sinal de menos. \frac{d}{dx}e^{-x} = e^{-x} está errado. A derivada de dentro é -1.
- Escrever -xe^{-x - 1}. Isso usa a regra da potência em uma exponencial.
- Perder o controle dos sinais nas derivadas de ordem superior. As derivadas de ordem par são positivas, as de ordem ímpar são negativas.
- Errar o sinal da integral. \int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C, não e^{-x} + C. Veja a integral de e^(−x).
Para praticar mais a regra da cadeia com exponenciais, tente os exercícios de derivadas de funções exponenciais e logarítmicas.
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Regra da cadeia: e e ln
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