Ableitung von e^(−x): Formel, Schritte und Beispiele
Die Ableitung von e^(−x) ist −e^(−x). Mit den Schritten der Kettenregel, einer Probe mit der Quotientenregel, höheren Ableitungen und Beispielen wie xe^(−x).
Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen Aktualisiert 2 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Ableitung
- -e^{-x}
- Zweite Ableitung
- e^{-x}
- n-te Ableitung
- (-1)^n e^{-x}
- Dieselbe Funktion wie
- \dfrac{1}{e^x}
- Als Integral
- \int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C
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Die Ableitung von e^{-x} ist -e^{-x}. Die Exponentialfunktion bleibt gleich, und die Ableitung des Exponenten -x, also -1, setzt ein Minuszeichen davor.
Schritt für Schritt mit der Kettenregel
Fasse e^{-x} als e^u mit u = -x auf. Die Kettenregel liefert
Der äußere Schritt nutzt, dass die Ableitung von eˣ wieder e^x ist.
Probe mit der Quotientenregel
Wegen e^{-x} = \frac{1}{e^x} sollte die Quotientenregel dasselbe ergeben:
Gleiches Ergebnis, mehr Arbeit. Mit der Kettenregel geht es schneller.
Graph von e^(−x) und seiner Ableitung
Der Graph von e^{-x} ist der an der y-Achse gespiegelte Graph von e^x. Durch die Spiegelung von links nach rechts wird aus jeder steigenden Steigung eine fallende, also ist die Ableitung negativ. Für x \to \infty gehen sowohl die Funktion als auch ihre Steigung gegen 0. Das ist die Form des exponentiellen Zerfalls.
Höhere Ableitungen
Jede Ableitung bringt eine weitere -1 hervor, die Vorzeichen wechseln sich also ab:
| Ableitung | Ergebnis |
|---|---|
| f'(x) | -e^{-x} |
| f''(x) | e^{-x} |
| f'''(x) | -e^{-x} |
| f^{(n)}(x) | (-1)^n e^{-x} |
Wegen f''(x) = f(x) löst e^{-x} die Differentialgleichung y'' = y, genau wie e^x. Und f'(x) = -f(x) bedeutet, dass die Funktion mit einer Rate abnimmt, die gleich ihrem eigenen Wert ist. Das ist das Grundgesetz des exponentiellen Zerfalls.
Rechenbeispiele
Beispiel 1: Produktregel. Für f(x) = xe^{-x} liefert die Produktregel
Also steigt f für x < 1, fällt für x > 1 und hat das Maximum f(1) = \frac{1}{e} \approx 0.368.
Beispiel 2: exponentieller Zerfall. Eine Größe A(t) = 50e^{-0.2t} ändert sich mit der Rate
Bei t = 0 nimmt sie um 10 Einheiten pro Zeiteinheit ab.
Beispiel 3: eine Summe. Für g(x) = e^x + e^{-x} gilt
Teilst du beides durch 2, erhältst du die Ableitung von cosh x, nämlich \sinh x.
Typische Fehler
- Das Minuszeichen weglassen. \frac{d}{dx}e^{-x} = e^{-x} ist falsch. Die innere Ableitung ist -1.
- -xe^{-x - 1} schreiben. Das wendet die Potenzregel auf eine Exponentialfunktion an.
- Bei höheren Ableitungen die Vorzeichen durcheinanderbringen. Gerade Ableitungen sind positiv, ungerade negativ.
- Beim Integral das Vorzeichen falsch setzen. \int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C, nicht e^{-x} + C. Siehe das Integral von e^(−x).
Für mehr Übung mit der Kettenregel bei Exponentialfunktionen probiere die Aufgaben zu Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen.
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