Derivada de sen(x²): fórmula, demonstração e exemplos
A derivada de sen(x²) é 2x cos(x²). Veja a regra da cadeia passo a passo, a diferença para sen²x, a derivada segunda e exemplos resolvidos.
Derivadas trigonométricas Atualizado 2 min de leitura
Visão geral
- Derivada
- 2x\cos(x^2)
- Fora e dentro
- De fora \sin u, de dentro u = x^2
- Derivada segunda
- 2\cos(x^2) - 4x^2\sin(x^2)
- Não é o mesmo que
- \sin^2 x, cuja derivada é \sin 2x
- Integral
- \int\sin(x^2)\,dx não tem primitiva elementar
Nesta página
A derivada de \sin(x^2) é 2x\cos(x^2). Este é um problema clássico de regra da cadeia: o seno está por fora e x^2 está por dentro.
Gráfico de sen(x²) e de sua derivada
Ao contrário de \sin x, esta função não é periódica. Ela acelera à medida que você se afasta de 0, e a derivada cresce aproximadamente como 2x.
Demonstração pela regra da cadeia
Faça u = x^2, então y = \sin u. Assim
Multiplique:
A função de dentro x^2 é copiada sem mudança para o cosseno. A derivada da função de dentro, 2x, vai para a frente. Os dois ingredientes são a derivada de sen x e a derivada de x².
sen(x²) versus sen²x
Estas duas são fáceis de confundir e têm derivadas diferentes:
| Função | Significado | Derivada |
|---|---|---|
| \sin(x^2) | seno de x^2 | 2x\cos(x^2) |
| \sin^2 x | (\sin x)^2 | 2\sin x\cos x = \sin 2x |
| \sin 2x | seno de 2x | 2\cos 2x |
Em x = 1, por exemplo, \sin(1) \approx 0.841 enquanto \sin^2(1) \approx 0.708. Veja a derivada de sen²x e a derivada de sen 2x.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: uma constante dentro. \frac{d}{dx}\sin(3x^2) = \cos(3x^2)\cdot 6x = 6x\cos(3x^2).
Exemplo 2: um valor. Em x = \sqrt{\pi}, x^2 = \pi e \cos\pi = -1, então a inclinação é 2\sqrt{\pi}\cdot(-1) = -2\sqrt{\pi} \approx -3.54.
Exemplo 3: um produto. Com a regra do produto:
Exemplo 4: derivada segunda. Derive 2x\cos(x^2) com a regra do produto:
Exemplo 5: outras potências. \frac{d}{dx}\sin(x^3) = 3x^2\cos(x^3) e \frac{d}{dx}\cos(x^2) = -2x\sin(x^2).
Identificando a função de fora e a de dentro
A parte mais difícil deste problema é lê-lo corretamente. Pergunte-se qual operação você faria por último se substituísse um número. Para \sin(x^2) com x = 3, você eleva ao quadrado primeiro e obtém 9, depois calcula o seno. O último passo, o seno, é a função de fora. O primeiro passo, elevar ao quadrado, é a de dentro. Essa ordem diz exatamente como aplicar a regra da cadeia. O mesmo teste funciona para qualquer composição: o que acontece por último é derivado primeiro, e o resto entra multiplicando como derivada de dentro.
Erros comuns
- Esquecer o 2x. \cos(x^2) sozinho é só a derivada de fora.
- Mudar a função de dentro. Escrever 2x\cos x ou \cos 2x perde o x^2.
- Ler como \sin^2 x. Confira os parênteses antes de começar.
Aplicar a regra da cadeia ao contrário é a integração por substituição: \int 2x\cos(x^2)\,dx = \sin(x^2) + C. Pratique mais com os exercícios de regra da cadeia.
Pratique agora
Regra da cadeia: trigonometria
Resolva problemas reais sobre este tópico com feedback instantâneo, dicas e uma resolução passo a passo para cada resposta. Grátis, sem cadastro para começar.
Praticar esta lição