Derivada de sen(x²): fórmula, demostración y ejemplos
La derivada de sen(x²) es 2x cos(x²). La regla de la cadena paso a paso, en qué se diferencia de sen²x, la segunda derivada y ejemplos resueltos.
Derivadas trigonométricas Actualizado 2 min de lectura
De un vistazo
- Derivada
- 2x\cos(x^2)
- Exterior e interior
- Exterior \sin u, interior u = x^2
- Segunda derivada
- 2\cos(x^2) - 4x^2\sin(x^2)
- No es lo mismo que
- \sin^2 x, cuya derivada es \sin 2x
- Integral
- \int\sin(x^2)\,dx no tiene antiderivada elemental
En esta página
La derivada de \sin(x^2) es 2x\cos(x^2). Es un ejercicio clásico de la regla de la cadena: el seno está por fuera y x^2 por dentro.
Gráfica de sen(x²) y de su derivada
A diferencia de \sin x, esta función no es periódica. Se acelera a medida que te alejas de 0, y la derivada crece más o menos como 2x.
Demostración con la regla de la cadena
Toma u = x^2, de modo que y = \sin u. Entonces
Multiplica:
El interior x^2 se copia sin cambios dentro del coseno. La derivada del interior, 2x, va delante. Los dos ingredientes son la derivada de sen x y la derivada de x².
sen(x²) frente a sen²x
Estas dos son fáciles de confundir y tienen derivadas distintas:
| Función | Significado | Derivada |
|---|---|---|
| \sin(x^2) | seno de x^2 | 2x\cos(x^2) |
| \sin^2 x | (\sin x)^2 | 2\sin x\cos x = \sin 2x |
| \sin 2x | seno de 2x | 2\cos 2x |
En x = 1, por ejemplo, \sin(1) \approx 0.841 mientras que \sin^2(1) \approx 0.708. Consulta la derivada de sen²x y la derivada de sen 2x.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: una constante en el interior. \frac{d}{dx}\sin(3x^2) = \cos(3x^2)\cdot 6x = 6x\cos(3x^2).
Ejemplo 2: un valor. En x = \sqrt{\pi}, x^2 = \pi y \cos\pi = -1, así que la pendiente es 2\sqrt{\pi}\cdot(-1) = -2\sqrt{\pi} \approx -3.54.
Ejemplo 3: un producto. Con la regla del producto:
Ejemplo 4: segunda derivada. Deriva 2x\cos(x^2) con la regla del producto:
Ejemplo 5: otras potencias. \frac{d}{dx}\sin(x^3) = 3x^2\cos(x^3) y \frac{d}{dx}\cos(x^2) = -2x\sin(x^2).
Cómo identificar el exterior y el interior
Lo más difícil de este ejercicio es leerlo bien. Pregúntate qué operación harías en último lugar si sustituyeras un número. Para \sin(x^2) con x = 3, primero elevas al cuadrado y obtienes 9, y luego calculas el seno. El último paso, el seno, es la función exterior. El primer paso, elevar al cuadrado, es la interior. Ese orden te dice exactamente cómo aplicar la regla de la cadena. La misma prueba sirve para cualquier composición: lo que ocurre en último lugar se deriva primero, y el resto se multiplica como derivada interior.
Errores comunes
- Olvidar el 2x. \cos(x^2) por sí solo es únicamente la derivada exterior.
- Cambiar el interior. Escribir 2x\cos x o \cos 2x pierde el x^2.
- Leerla como \sin^2 x. Revisa los paréntesis antes de empezar.
Aplicar la regla de la cadena al revés es el cambio de variable: \int 2x\cos(x^2)\,dx = \sin(x^2) + C. Practica más con los ejercicios de la regla de la cadena.
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