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Dérivées trigonométriques

Dérivée de sin(x²) : formule, démonstration et exemples

La dérivée de sin(x²) est 2x cos(x²). La dérivation en chaîne pas à pas, la différence avec sin²x, la dérivée seconde et des exemples corrigés.

Dérivées trigonométriques Mis à jour Lecture : 2 min

En bref

\frac{d}{dx}\,\sin(x^2) = 2x\cos(x^2)
Dérivée
2x\cos(x^2)
Extérieur et intérieur
Extérieur \sin u, intérieur u = x^2
Dérivée seconde
2\cos(x^2) - 4x^2\sin(x^2)
À ne pas confondre avec
\sin^2 x, dont la dérivée est \sin 2x
Intégrale
\int\sin(x^2)\,dx n'a pas de primitive élémentaire
Sur cette page
  1. Courbe de sin(x²) et de sa dérivée
  2. Démonstration par la règle de dérivation en chaîne
  3. sin(x²) ou sin²x
  4. Exemples corrigés
  5. Repérer l'extérieur et l'intérieur
  6. Erreurs fréquentes

La dérivée de \sin(x^2) est 2x\cos(x^2). C'est un exercice classique de dérivation en chaîne : le sinus est à l'extérieur et x^2 à l'intérieur.

\frac{d}{dx}\,\sin(x^2) = 2x\cos(x^2)

Courbe de sin(x²) et de sa dérivée

Courbe de y = sin(x²) et de sa dérivée y = 2x cos(x²)
Les oscillations de \sin(x^2) se resserrent quand \lvert x\rvert augmente, donc les pentes deviennent plus fortes. Le facteur 2x de la dérivée traduit ce phénomène.

Contrairement à \sin x, cette fonction n'est pas périodique. Elle accélère à mesure qu'on s'éloigne de 0, et la dérivée grandit à peu près comme 2x.

Démonstration par la règle de dérivation en chaîne

Posons u = x^2, donc y = \sin u. Alors

\frac{dy}{du} = \cos u, \qquad \frac{du}{dx} = 2x

On multiplie :

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} = \cos u\cdot 2x = 2x\cos(x^2)

L'intérieur x^2 est recopié tel quel dans le cosinus. La dérivée de l'intérieur, 2x, passe devant. Les deux ingrédients sont la dérivée de sin x et la dérivée de x².

sin(x²) ou sin²x

Ces deux fonctions se confondent facilement et ont des dérivées différentes :

Fonction Signification Dérivée
\sin(x^2) sinus de x^2 2x\cos(x^2)
\sin^2 x (\sin x)^2 2\sin x\cos x = \sin 2x
\sin 2x sinus de 2x 2\cos 2x

En x = 1, par exemple, \sin(1) \approx 0.841 alors que \sin^2(1) \approx 0.708. Voir la dérivée de sin²x et la dérivée de sin 2x.

Exemples corrigés

Exemple 1 : une constante à l'intérieur. \frac{d}{dx}\sin(3x^2) = \cos(3x^2)\cdot 6x = 6x\cos(3x^2).

Exemple 2 : une valeur. En x = \sqrt{\pi}, x^2 = \pi et \cos\pi = -1, donc la pente vaut 2\sqrt{\pi}\cdot(-1) = -2\sqrt{\pi} \approx -3.54.

Exemple 3 : un produit. Avec la règle du produit :

\frac{d}{dx}\left(x\sin(x^2)\right) = \sin(x^2) + x\cdot 2x\cos(x^2) = \sin(x^2) + 2x^2\cos(x^2)

Exemple 4 : dérivée seconde. On dérive 2x\cos(x^2) avec la règle du produit :

\frac{d}{dx}\left(2x\cos(x^2)\right) = 2\cos(x^2) + 2x\cdot\left(-2x\sin(x^2)\right) = 2\cos(x^2) - 4x^2\sin(x^2)

Exemple 5 : d'autres puissances. \frac{d}{dx}\sin(x^3) = 3x^2\cos(x^3) et \frac{d}{dx}\cos(x^2) = -2x\sin(x^2).

Repérer l'extérieur et l'intérieur

Le plus difficile dans cet exercice est de bien le lire. Demandez-vous quelle opération vous feriez en dernier si vous remplaciez la variable par un nombre. Pour \sin(x^2) avec x = 3, on élève d'abord au carré pour obtenir 9, puis on prend le sinus. La dernière étape, le sinus, est la fonction extérieure. La première, le carré, est l'intérieur. Cet ordre indique exactement comment appliquer la règle de dérivation en chaîne. Le même test fonctionne pour toute composée : ce qui se fait en dernier se dérive en premier, et le reste est multiplié comme dérivée intérieure.

Erreurs fréquentes

  1. Oublier le 2x. \cos(x^2) seul n'est que la dérivée extérieure.
  2. Modifier l'intérieur. Écrire 2x\cos x ou \cos 2x fait perdre le x^2.
  3. Le lire comme \sin^2 x. Vérifiez les parenthèses avant de commencer.

Appliquer la règle de dérivation en chaîne à l'envers, c'est le changement de variable : \int 2x\cos(x^2)\,dx = \sin(x^2) + C. Entraînez-vous davantage avec les exercices sur la règle de dérivation en chaîne.

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Questions fréquentes

Quelle est la dérivée de sin(x²) ?
C'est 2x\cos(x^2). La dérivée extérieure est \cos(x^2) et la dérivée intérieure est 2x.

Quelle est la différence entre sin(x²) et sin²x ?
Dans \sin(x^2), on élève d'abord x au carré, puis on prend le sinus. Dans \sin^2 x = (\sin x)^2, on prend d'abord le sinus, puis on élève au carré. Leurs dérivées sont 2x\cos(x^2) et 2\sin x\cos x.

Quelle est la dérivée de sin(3x²) ?
C'est 6x\cos(3x^2), puisque la dérivée de 3x^2 est 6x.

Quelle est l'intégrale de sin(x²) ?
Elle n'a pas d'expression à l'aide des fonctions usuelles. Elle définit l'intégrale de Fresnel et se calcule en général numériquement. En revanche, \int 2x\cos(x^2)\,dx = \sin(x^2) + C par changement de variable.

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