Exercícios de integrais impróprias resolvidos, com respostas

Estes exercícios de integrais impróprias cobrem limites de integração infinitos, assíntotas verticais em uma extremidade e dentro do intervalo, e o critério da comparação. Em cada um, decida se a integral converge e, se convergir, encontre o seu valor. As respostas vêm antes, depois as resoluções completas.

A definição para um limite infinito:

Para uma assíntota em x = a, use \lim_{t\to a^+}\int_t^{b} f(x)\,dx. Para mais exemplos, leia o guia de integrais impróprias.

Exercícios

Limites infinitos

1. \displaystyle\int_1^{\infty}\frac{1}{x^2}\,dx
2. \displaystyle\int_1^{\infty}\frac{1}{x}\,dx
3. \displaystyle\int_1^{\infty}x^{-3/2}\,dx
4. \displaystyle\int_0^{\infty}e^{-2x}\,dx
5. \displaystyle\int_0^{\infty}x\,e^{-x}\,dx
6. \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1 + x^2}\,dx

Assíntotas verticais

7. \displaystyle\int_0^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx
8. \displaystyle\int_0^{1}\frac{1}{x}\,dx
9. \displaystyle\int_0^{1}\ln x\,dx
10. \displaystyle\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}\,dx
11. \displaystyle\int_0^{3}\frac{1}{(x - 1)^{2/3}}\,dx

Comparação

12. \displaystyle\int_1^{\infty}\frac{2 + \cos x}{x^2}\,dx converge?

Respostas

Resolução passo a passo

1. \displaystyle\lim_{b\to\infty}\left[-\frac{1}{x}\right]_1^{b} = \lim_{b\to\infty}\left(1 - \frac{1}{b}\right) = 1

2. \displaystyle\lim_{b\to\infty}\big[\ln x\big]_1^{b} = \lim_{b\to\infty}\ln b = \infty, então diverge.

3. Uma antiderivada de x^{-3/2} é -2x^{-1/2}:

É uma integral do tipo p com p = \frac{3}{2} > 1, então a convergência já era esperada.

4. \displaystyle\lim_{b\to\infty}\left[-\frac{1}{2}e^{-2x}\right]_0^{b} = \lim_{b\to\infty}\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}e^{-2b}\right) = \frac{1}{2}

5. Por partes, \int x\,e^{-x}\,dx = -(x + 1)e^{-x}. Então:

O termo (b + 1)e^{-b} \to 0 porque a exponencial cresce muito mais rápido que b + 1 (use a regra de L'Hôpital se quiser conferir).

6. Divida em 0. Cada metade é \lim\arctan b = \frac{\pi}{2}, então o total é \pi. As duas metades precisam convergir para que a integral inteira convirja.

7. O integrando explode em x = 0:

8. \displaystyle\lim_{t\to 0^+}\big(\ln 1 - \ln t\big) = \lim_{t\to 0^+}(-\ln t) = \infty, então diverge.

9. Uma antiderivada é x\ln x - x. Em x = 1 ela vale -1. Quando t \to 0^+, t\ln t \to 0, então:

10. A assíntota em x = 0 está dentro do intervalo, então divida nesse ponto. A metade da direita é \lim_{t\to 0^+}\left(\frac{1}{t} - 1\right) = \infty, então a integral inteira diverge. A resposta tentadora \left[-\frac{1}{x}\right]_{-1}^{1} = -2 é impossível, já que o integrando é positivo.

11. A assíntota está em x = 1, dentro de [0, 3]. Uma antiderivada é 3(x - 1)^{1/3}, que é contínua em x = 1:

As duas metades convergem, então o total é 3 + 3\sqrt[3]{2} \approx 6.78.

12. Como -1 \le \cos x \le 1, o integrando fica entre \frac{1}{x^2} e \frac{3}{x^2}. E \int_1^{\infty}\frac{3}{x^2}\,dx = 3 converge. Uma função positiva abaixo de uma convergente também converge.

Erros comuns nestes exercícios

• Não ver uma assíntota dentro do intervalo. Os exercícios 10 e 11 parecem integrais definidas comuns. Sempre verifique onde o integrando não está definido.
• Tratar \infty como um número. Escreva o limite. Expressões como \frac{1}{\infty} escondem erros.
• Comparar na direção errada. Ser menor que uma integral divergente não prova nada. Ser maior que uma convergente também não.
• Verificar só um lado. No exercício 6, as duas metades precisam convergir separadamente.

Continue praticando

Para exercícios ilimitados com correção imediata, experimente a lição de limites infinitos, a lição de descontinuidades infinitas e a lição do critério da comparação. A mesma regra do p volta nas séries, nos exercícios de testes de convergência.