Ejercicios de integrales impropias resueltos con respuestas

Estos ejercicios de integrales impropias cubren límites de integración infinitos, asíntotas verticales en un extremo y dentro del intervalo, y el criterio de comparación. En cada uno, decide si converge y, si lo hace, halla su valor. Las respuestas van primero y después las soluciones completas.

La definición para un límite infinito:

Para una asíntota en x = a, usa en su lugar \lim_{t\to a^+}\int_t^{b} f(x)\,dx. Para más ejemplos, lee la guía de integrales impropias.

Ejercicios

Límites infinitos

1. \displaystyle\int_1^{\infty}\frac{1}{x^2}\,dx
2. \displaystyle\int_1^{\infty}\frac{1}{x}\,dx
3. \displaystyle\int_1^{\infty}x^{-3/2}\,dx
4. \displaystyle\int_0^{\infty}e^{-2x}\,dx
5. \displaystyle\int_0^{\infty}x\,e^{-x}\,dx
6. \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1 + x^2}\,dx

Asíntotas verticales

7. \displaystyle\int_0^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx
8. \displaystyle\int_0^{1}\frac{1}{x}\,dx
9. \displaystyle\int_0^{1}\ln x\,dx
10. \displaystyle\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}\,dx
11. \displaystyle\int_0^{3}\frac{1}{(x - 1)^{2/3}}\,dx

Comparación

12. ¿Converge \displaystyle\int_1^{\infty}\frac{2 + \cos x}{x^2}\,dx?

Respuestas

Soluciones paso a paso

1. \displaystyle\lim_{b\to\infty}\left[-\frac{1}{x}\right]_1^{b} = \lim_{b\to\infty}\left(1 - \frac{1}{b}\right) = 1

2. \displaystyle\lim_{b\to\infty}\big[\ln x\big]_1^{b} = \lim_{b\to\infty}\ln b = \infty, así que diverge.

3. Una antiderivada de x^{-3/2} es -2x^{-1/2}:

Es una integral p con p = \frac{3}{2} > 1, así que la convergencia era de esperar.

4. \displaystyle\lim_{b\to\infty}\left[-\frac{1}{2}e^{-2x}\right]_0^{b} = \lim_{b\to\infty}\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}e^{-2b}\right) = \frac{1}{2}

5. Por partes, \int x\,e^{-x}\,dx = -(x + 1)e^{-x}. Entonces:

El término (b + 1)e^{-b} \to 0 porque la exponencial crece mucho más rápido que b + 1 (usa la regla de L'Hôpital si quieres comprobarlo).

6. Divide en 0. Cada mitad es \lim\arctan b = \frac{\pi}{2}, así que el total es \pi. Ambas mitades deben converger para que converja la integral completa.

7. El integrando se dispara en x = 0:

8. \displaystyle\lim_{t\to 0^+}\big(\ln 1 - \ln t\big) = \lim_{t\to 0^+}(-\ln t) = \infty, así que diverge.

9. Una antiderivada es x\ln x - x. En x = 1 vale -1. Cuando t \to 0^+, t\ln t \to 0, así que:

10. La asíntota en x = 0 está dentro del intervalo, así que divide ahí. La mitad derecha es \lim_{t\to 0^+}\left(\frac{1}{t} - 1\right) = \infty, así que toda la integral diverge. La respuesta tentadora \left[-\frac{1}{x}\right]_{-1}^{1} = -2 es imposible, ya que el integrando es positivo.

11. La asíntota está en x = 1, dentro de [0, 3]. Una antiderivada es 3(x - 1)^{1/3}, que es continua en x = 1:

Ambas mitades convergen, así que el total es 3 + 3\sqrt[3]{2} \approx 6.78.

12. Como -1 \le \cos x \le 1, el integrando está entre \frac{1}{x^2} y \frac{3}{x^2}. Y \int_1^{\infty}\frac{3}{x^2}\,dx = 3 converge. Una función positiva por debajo de una convergente también converge.

Errores comunes en estos ejercicios

• No ver una asíntota dentro del intervalo. Los ejercicios 10 y 11 parecen integrales definidas normales. Comprueba siempre dónde no está definido el integrando.
• Tratar \infty como un número. Escribe el límite. Expresiones como \frac{1}{\infty} esconden errores.
• Comparar en la dirección equivocada. Ser menor que una integral divergente no demuestra nada. Ser mayor que una convergente tampoco.
• Dividir solo un lado. En el ejercicio 6, ambas mitades deben converger por separado.

Sigue practicando

Para practicar sin límite con corrección al instante, prueba la lección de límites infinitos, la lección de discontinuidades infinitas y la lección del criterio de comparación. La misma regla de p vuelve a aparecer con las series en los ejercicios de criterios de convergencia.