Intégrales impropres : exercices corrigés avec réponses

Ces exercices sur les intégrales impropres couvrent les bornes infinies, les asymptotes verticales à une borne ou à l'intérieur de l'intervalle, et le critère de comparaison. Pour chacun, déterminez si l'intégrale converge et, si oui, calculez sa valeur. Les réponses sont données en premier, puis viennent les solutions détaillées.

La définition pour une borne infinie :

Pour une asymptote en x = a, utilisez plutôt \lim_{t\to a^+}\int_t^{b} f(x)\,dx. Pour plus d'exemples, lisez le guide des intégrales impropres.

Exercices

Bornes infinies

1. \displaystyle\int_1^{\infty}\frac{1}{x^2}\,dx
2. \displaystyle\int_1^{\infty}\frac{1}{x}\,dx
3. \displaystyle\int_1^{\infty}x^{-3/2}\,dx
4. \displaystyle\int_0^{\infty}e^{-2x}\,dx
5. \displaystyle\int_0^{\infty}x\,e^{-x}\,dx
6. \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1 + x^2}\,dx

Asymptotes verticales

7. \displaystyle\int_0^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx
8. \displaystyle\int_0^{1}\frac{1}{x}\,dx
9. \displaystyle\int_0^{1}\ln x\,dx
10. \displaystyle\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}\,dx
11. \displaystyle\int_0^{3}\frac{1}{(x - 1)^{2/3}}\,dx

Comparaison

12. \displaystyle\int_1^{\infty}\frac{2 + \cos x}{x^2}\,dx converge-t-elle ?

Réponses

Solutions détaillées

1. \displaystyle\lim_{b\to\infty}\left[-\frac{1}{x}\right]_1^{b} = \lim_{b\to\infty}\left(1 - \frac{1}{b}\right) = 1

2. \displaystyle\lim_{b\to\infty}\big[\ln x\big]_1^{b} = \lim_{b\to\infty}\ln b = \infty, donc elle diverge.

3. Une primitive de x^{-3/2} est -2x^{-1/2} :

C'est une intégrale de Riemann d'exposant p, ici p = \frac{3}{2} > 1, donc la convergence était attendue.

4. \displaystyle\lim_{b\to\infty}\left[-\frac{1}{2}e^{-2x}\right]_0^{b} = \lim_{b\to\infty}\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}e^{-2b}\right) = \frac{1}{2}

5. Par parties, \int x\,e^{-x}\,dx = -(x + 1)e^{-x}. Alors :

Le terme (b + 1)e^{-b} \to 0 car l'exponentielle croît bien plus vite que b + 1 (utilisez la règle de L'Hôpital pour le vérifier).

6. Coupez en 0. Chaque moitié vaut \lim\arctan b = \frac{\pi}{2}, donc le total vaut \pi. Les deux moitiés doivent converger pour que l'intégrale entière converge.

7. L'intégrande explose en x = 0 :

8. \displaystyle\lim_{t\to 0^+}\big(\ln 1 - \ln t\big) = \lim_{t\to 0^+}(-\ln t) = \infty, donc elle diverge.

9. Une primitive est x\ln x - x. En x = 1, elle vaut -1. Quand t \to 0^+, t\ln t \to 0, donc :

10. L'asymptote en x = 0 est à l'intérieur de l'intervalle, donc coupez à cet endroit. La moitié droite vaut \lim_{t\to 0^+}\left(\frac{1}{t} - 1\right) = \infty, donc l'intégrale entière diverge. La réponse tentante \left[-\frac{1}{x}\right]_{-1}^{1} = -2 est impossible, puisque l'intégrande est positive.

11. L'asymptote est en x = 1, à l'intérieur de [0, 3]. Une primitive est 3(x - 1)^{1/3}, qui est continue en x = 1 :

Les deux moitiés convergent, donc le total vaut 3 + 3\sqrt[3]{2} \approx 6.78.

12. Comme -1 \le \cos x \le 1, l'intégrande est compris entre \frac{1}{x^2} et \frac{3}{x^2}. Or \int_1^{\infty}\frac{3}{x^2}\,dx = 3 converge. Une fonction positive inférieure à une fonction d'intégrale convergente a aussi une intégrale convergente.

Erreurs fréquentes sur ces exercices

• Manquer une asymptote à l'intérieur de l'intervalle. Les exercices 10 et 11 ressemblent à des intégrales définies ordinaires. Vérifiez toujours où l'intégrande n'est pas définie.
• Traiter \infty comme un nombre. Écrivez la limite. Des expressions comme \frac{1}{\infty} cachent des erreurs.
• Comparer dans le mauvais sens. Être plus petite qu'une intégrale divergente ne prouve rien. Être plus grande qu'une intégrale convergente ne prouve rien.
• Ne traiter qu'un seul côté. Dans l'exercice 6, les deux moitiés doivent converger séparément.

Continuer à s'entraîner

Pour des exercices en nombre illimité avec correction immédiate, essayez la leçon sur les bornes infinies, la leçon sur les discontinuités infinies et la leçon sur le critère de comparaison. La même règle sur p revient pour les séries dans les exercices sur les critères de convergence.