Integral de e^(2x): fórmula, passo a passo e exemplos

A integral de e^{2x} é \dfrac{1}{2}e^{2x} + C. De modo mais geral, para integrar e^{kx} você mantém a exponencial e divide por k.

Gráfico de e²ˣ e de sua primitiva

Como integrar e²ˣ passo a passo

Use a substituição (mudança de variável).

1. Seja u = 2x. Então du = 2\,dx, logo dx = \frac{1}{2}\,du.
2. Reescreva: \displaystyle\int e^{2x}\,dx = \int e^u\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int e^u\,du.
3. Integre: \frac{1}{2}e^u + C, usando a integral de eˣ.
4. Volte à variável original: \frac{1}{2}e^{2x} + C.

Os mesmos passos com u = kx dão \frac{1}{k}e^{kx} + C. Com uma constante somada, u = kx + b, você obtém \frac{1}{k}e^{kx + b} + C.

Outro jeito de ver. A regra "divida pela inclinação da expressão de dentro" vale para toda expressão linear: \int\cos(3x)\,dx = \frac{1}{3}\sin 3x, \int (2x+1)^5\,dx = \frac{1}{12}(2x+1)^6. É o inverso da regra da cadeia, que multiplica pela inclinação de dentro.

Verificação por derivação

A regra da cadeia produz um fator k, e o \frac{1}{k} o cancela. Veja a derivada de e²ˣ para o sentido direto.

Integrais definidas

Na segunda linha, e^{2\ln 3} = (e^{\ln 3})^2 = 9. A última linha é um exemplo de um fato útil: \int_0^\infty e^{-kx}\,dx = \frac{1}{k} para k > 0.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: expoente deslocado. \displaystyle\int e^{3x + 1}\,dx = \frac{1}{3}e^{3x+1} + C.

Exemplo 2: uma fração no expoente. \displaystyle\int e^{x/2}\,dx = 2e^{x/2} + C, já que k = \frac{1}{2}.

Exemplo 3: expanda antes. \displaystyle\int (e^x + 1)^2\,dx. Expanda para e^{2x} + 2e^x + 1:

Exemplo 4: simplifique um quociente. \displaystyle\int \frac{e^{5x}}{e^{3x}}\,dx = \int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C.

Exemplo 5: crescimento. Uma população cresce a uma taxa de r(t) = 100e^{0.2t} por ano. O aumento nos primeiros 5 anos é

Erros comuns

1. Multiplicar em vez de dividir. \int e^{2x}\,dx não é 2e^{2x}. Essa é a derivada.
2. Dividir por 2x. O divisor tem de ser uma constante. Se o expoente não for linear, o atalho não funciona.
3. Aplicar isso a e^{x^2}. \int e^{x^2}\,dx não tem primitiva elementar. Veja a integral de e^(x²).
4. Erros de sinal com k negativo. \int e^{-2x}\,dx = -\frac{1}{2}e^{-2x} + C. Veja a integral de e⁻ˣ.