Integral de e^(2x): fórmula, pasos y ejemplos

La integral de e^{2x} es \dfrac{1}{2}e^{2x} + C. En general, para integrar e^{kx} se conserva la exponencial y se divide entre k.

Gráfica de e²ˣ y su antiderivada

Cómo integrar e²ˣ paso a paso

Usa el cambio de variable.

1. Sea u = 2x. Entonces du = 2\,dx, así que dx = \frac{1}{2}\,du.
2. Reescribe: \displaystyle\int e^{2x}\,dx = \int e^u\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int e^u\,du.
3. Integra: \frac{1}{2}e^u + C, usando la integral de eˣ.
4. Deshaz el cambio: \frac{1}{2}e^{2x} + C.

Los mismos pasos con u = kx dan \frac{1}{k}e^{kx} + C. Si se suma una constante, u = kx + b, se obtiene \frac{1}{k}e^{kx + b} + C.

Otra forma de verlo. La regla "divide entre la pendiente del interior" funciona con cualquier interior lineal: \int\cos(3x)\,dx = \frac{1}{3}\sin 3x, \int (2x+1)^5\,dx = \frac{1}{12}(2x+1)^6. Es la inversa de la regla de la cadena, que multiplica por la pendiente del interior.

Comprobación derivando

La regla de la cadena saca un factor k, y el \frac{1}{k} lo cancela. Consulta la derivada de e²ˣ para el sentido directo.

Integrales definidas

En la segunda fila, e^{2\ln 3} = (e^{\ln 3})^2 = 9. La última fila es un ejemplo de un hecho útil: \int_0^\infty e^{-kx}\,dx = \frac{1}{k} para k > 0.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: un exponente desplazado. \displaystyle\int e^{3x + 1}\,dx = \frac{1}{3}e^{3x+1} + C.

Ejemplo 2: una fracción en el exponente. \displaystyle\int e^{x/2}\,dx = 2e^{x/2} + C, ya que k = \frac{1}{2}.

Ejemplo 3: desarrolla primero. \displaystyle\int (e^x + 1)^2\,dx. Desarrolla y queda e^{2x} + 2e^x + 1:

Ejemplo 4: simplifica un cociente. \displaystyle\int \frac{e^{5x}}{e^{3x}}\,dx = \int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C.

Ejemplo 5: crecimiento. Una población crece a un ritmo de r(t) = 100e^{0.2t} individuos por año. El aumento en los primeros 5 años es

Errores comunes

1. Multiplicar en lugar de dividir. \int e^{2x}\,dx no es 2e^{2x}. Esa es la derivada.
2. Dividir entre 2x. El divisor tiene que ser una constante. Si el exponente no es lineal, el atajo falla.
3. Aplicarlo a e^{x^2}. \int e^{x^2}\,dx no tiene antiderivada elemental. Consulta la integral de e^(x²).
4. Errores de signo con k negativo. \int e^{-2x}\,dx = -\frac{1}{2}e^{-2x} + C. Consulta la integral de e⁻ˣ.