Integral von e^(2x): Formel, Rechenweg und Beispiele

Das Integral von e^{2x} ist \dfrac{1}{2}e^{2x} + C. Allgemein gilt: Um e^{kx} zu integrieren, behältst du die Exponentialfunktion und teilst durch k.

Graph von e²ˣ und seiner Stammfunktion

e²ˣ Schritt für Schritt integrieren

Verwende die Substitutionsregel.

1. Setze u = 2x. Dann ist du = 2\,dx, also dx = \frac{1}{2}\,du.
2. Schreibe um: \displaystyle\int e^{2x}\,dx = \int e^u\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int e^u\,du.
3. Integriere: \frac{1}{2}e^u + C, mit dem Integral von eˣ.
4. Rücksubstituieren: \frac{1}{2}e^{2x} + C.

Dieselben Schritte mit u = kx liefern \frac{1}{k}e^{kx} + C. Mit einer zusätzlichen Konstanten, u = kx + b, erhältst du \frac{1}{k}e^{kx + b} + C.

Eine andere Sichtweise. Die Regel „durch die innere Steigung teilen“ gilt für jede lineare innere Funktion: \int\cos(3x)\,dx = \frac{1}{3}\sin 3x, \int (2x+1)^5\,dx = \frac{1}{12}(2x+1)^6. Sie ist die Umkehrung davon, dass die Kettenregel mit der inneren Steigung multipliziert.

Probe durch Ableiten

Die Kettenregel liefert einen Faktor k, und das \frac{1}{k} hebt ihn auf. Die andere Richtung findest du bei der Ableitung von e²ˣ.

Bestimmte Integrale

In der zweiten Zeile ist e^{2\ln 3} = (e^{\ln 3})^2 = 9. Die letzte Zeile ist ein Beispiel für eine nützliche Tatsache: \int_0^\infty e^{-kx}\,dx = \frac{1}{k} für k > 0.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: ein verschobener Exponent. \displaystyle\int e^{3x + 1}\,dx = \frac{1}{3}e^{3x+1} + C.

Beispiel 2: ein Bruch im Exponenten. \displaystyle\int e^{x/2}\,dx = 2e^{x/2} + C, da k = \frac{1}{2}.

Beispiel 3: zuerst ausmultiplizieren. \displaystyle\int (e^x + 1)^2\,dx. Ausmultipliziert ergibt das e^{2x} + 2e^x + 1:

Beispiel 4: einen Quotienten vereinfachen. \displaystyle\int \frac{e^{5x}}{e^{3x}}\,dx = \int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C.

Beispiel 5: Wachstum. Eine Population wächst mit der Rate r(t) = 100e^{0.2t} pro Jahr. Der Zuwachs in den ersten 5 Jahren ist

Häufige Fehler

1. Multiplizieren statt teilen. \int e^{2x}\,dx ist nicht 2e^{2x}. Das ist die Ableitung.
2. Durch 2x teilen. Der Teiler muss eine Konstante sein. Ist der Exponent nicht linear, funktioniert die Abkürzung nicht.
3. Die Regel auf e^{x^2} anwenden. \int e^{x^2}\,dx hat keine elementare Stammfunktion. Siehe Integral von e^(x²).
4. Vorzeichenfehler bei negativem k. \int e^{-2x}\,dx = -\frac{1}{2}e^{-2x} + C. Siehe Integral von e⁻ˣ.