Integral de sen 2x: fórmula, dedução e exemplos

A integral de \sin 2x é -\dfrac{1}{2}\cos 2x + C. É a integral de sen x com um passo extra para lidar com o 2 de dentro.

Gráfico de sen 2x e de sua primitiva

Dedução por substituição

1. Seja u = 2x. Então du = 2\,dx, logo dx = \frac{1}{2}du.
2. Substitua: \displaystyle\int\sin 2x\,dx = \frac{1}{2}\int\sin u\,du.
3. Integre: \frac{1}{2}(-\cos u) + C.
4. Volte com u = 2x: -\frac{1}{2}\cos 2x + C.

Os mesmos passos dão a regra geral \int\sin(kx)\,dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C. Veja a substituição (mudança de variável).

Verificação por derivação

O fator 2 da regra da cadeia cancela o \frac{1}{2}. O sentido direto está na página da derivada de sen 2x.

Três respostas corretas

Usando a identidade do arco duplo \sin 2x = 2\sin x\cos x:

• Com u = \sin x, du = \cos x\,dx: \int 2u\,du = \sin^2 x + C.
• Com u = \cos x, du = -\sin x\,dx: \int -2u\,du = -\cos^2 x + C.

Elas parecem diferentes de -\frac{1}{2}\cos 2x, mas não são. Como \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1:

Então as três respostas diferem apenas por constantes. Isso é permitido: o +C absorve a diferença. Isso também explica por que a derivada de sen² x é \sin 2x.

Integrais definidas

Numa integral definida, as três formas da primitiva dão o mesmo número, porque a constante se cancela na subtração.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1. \int(\sin 2x + \cos 2x)\,dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{2}\sin 2x + C.

Exemplo 2. \int 6\sin 3x\,dx = 6\cdot\left(-\frac{1}{3}\cos 3x\right) + C = -2\cos 3x + C.

Exemplo 3: sen 2x cos x. Reescreva como 2\sin x\cos^2 x e faça u = \cos x:

Verificação: \frac{d}{dx}\left(-\frac{2}{3}\cos^3 x\right) = 2\cos^2 x\sin x = \sin 2x\cos x.

Exemplo 4: sen 2x cos 2x. Use \sin 2x\cos 2x = \frac{1}{2}\sin 4x, então a integral é -\frac{1}{8}\cos 4x + C.

Erros comuns

1. Responder -\cos 2x + C. Você esqueceu o \frac{1}{2}. Sua derivada é 2\sin 2x.
2. Responder -2\cos 2x + C. Isso multiplica por 2, que é o que a derivação faria.
3. Achar que \sin^2 x está errado porque difere do livro. Derive: você obtém \sin 2x, então está certo.
4. Escrever 2\sin x no lugar de \sin 2x. \sin 2x = 2\sin x\cos x, e não 2\sin x.

Pratique com os exercícios de substituição.