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Integrale trigonometrischer Funktionen

Integral von sin 2x: Formel, Herleitung und Beispiele

Das Integral von sin 2x ist -cos(2x)/2 + C. Die Substitution, warum auch sin² x + C und -cos² x + C richtig sind, und Beispiele für bestimmte Integrale.

Integrale trigonometrischer Funktionen Aktualisiert 2 Min. Lesezeit

Auf einen Blick

\int \sin 2x\,dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + C
Stammfunktion
-\dfrac{1}{2}\cos 2x + C
Ebenfalls richtig
\sin^2 x + C oder -\cos^2 x + C
Methode
u = 2x, du = 2\,dx
Von 0 bis π/2
1
Allgemeine Form
\int\sin(kx)\,dx = -\dfrac{1}{k}\cos(kx) + C
Auf dieser Seite
  1. Graph von sin 2x und seiner Stammfunktion
  2. Herleitung mit Substitution
  3. Probe durch Ableiten
  4. Drei richtige Ergebnisse
  5. Bestimmte Integrale
  6. Rechenbeispiele
  7. Häufige Fehler

Das Integral von \sin 2x ist -\dfrac{1}{2}\cos 2x + C. Es ist das Integral von sin x mit einem zusätzlichen Schritt für die 2 im Argument.

\int \sin 2x\,dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + C

Graph von sin 2x und seiner Stammfunktion

Fläche unter y = sin 2x von 0 bis π/2, mit der Stammfunktion y = -cos(2x)/2
Der schraffierte Bogen hat den Flächeninhalt 1, halb so viel wie ein Bogen von \sin x, weil er auf die halbe Breite gestaucht ist. Die gestrichelte Stammfunktion steigt von -\frac{1}{2} auf \frac{1}{2}.

Herleitung mit Substitution

  1. Setze u = 2x. Dann ist du = 2\,dx, also dx = \frac{1}{2}du.
  2. Substituiere: \displaystyle\int\sin 2x\,dx = \frac{1}{2}\int\sin u\,du.
  3. Integriere: \frac{1}{2}(-\cos u) + C.
  4. Setze u = 2x wieder ein: -\frac{1}{2}\cos 2x + C.

Dieselben Schritte liefern die allgemeine Regel \int\sin(kx)\,dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C. Siehe Substitutionsregel.

Probe durch Ableiten

\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2}\cos 2x\right) = -\frac{1}{2}\cdot(-\sin 2x)\cdot 2 = \sin 2x \checkmark

Der Faktor 2 aus der Kettenregel hebt das \frac{1}{2} auf. Die andere Richtung steht auf der Seite zur Ableitung von sin 2x.

Drei richtige Ergebnisse

Mit der Doppelwinkelformel \sin 2x = 2\sin x\cos x:

  • Mit u = \sin x, du = \cos x\,dx: \int 2u\,du = \sin^2 x + C.
  • Mit u = \cos x, du = -\sin x\,dx: \int -2u\,du = -\cos^2 x + C.

Das sieht anders aus als -\frac{1}{2}\cos 2x, ist es aber nicht. Wegen \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 gilt:

-\frac{1}{2}\cos 2x = \sin^2 x - \frac{1}{2} = -\cos^2 x + \frac{1}{2}

Die drei Ergebnisse unterscheiden sich also nur um Konstanten. Das ist erlaubt: Das +C schluckt den Unterschied. Das erklärt auch, warum die Ableitung von sin² x gleich \sin 2x ist.

Bestimmte Integrale

\int_0^{\pi/2}\sin 2x\,dx = -\frac{1}{2}\cos\pi + \frac{1}{2}\cos 0 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1
\int_0^{\pi/4}\sin 2x\,dx = -\frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}
\int_0^{\pi}\sin 2x\,dx = 0

Bei einem bestimmten Integral liefern alle drei Formen der Stammfunktion dieselbe Zahl, weil sich die Konstante beim Subtrahieren weghebt.

Rechenbeispiele

Beispiel 1. \int(\sin 2x + \cos 2x)\,dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{2}\sin 2x + C.

Beispiel 2. \int 6\sin 3x\,dx = 6\cdot\left(-\frac{1}{3}\cos 3x\right) + C = -2\cos 3x + C.

Beispiel 3: sin 2x cos x. Schreibe 2\sin x\cos^2 x und setze u = \cos x:

\int\sin 2x\cos x\,dx = -\frac{2}{3}\cos^3 x + C

Probe: \frac{d}{dx}\left(-\frac{2}{3}\cos^3 x\right) = 2\cos^2 x\sin x = \sin 2x\cos x.

Beispiel 4: sin 2x cos 2x. Verwende \sin 2x\cos 2x = \frac{1}{2}\sin 4x, das Integral ist also -\frac{1}{8}\cos 4x + C.

Häufige Fehler

  1. -\cos 2x + C angeben. Du hast das \frac{1}{2} vergessen. Die Ableitung davon ist 2\sin 2x.
  2. -2\cos 2x + C angeben. Das multipliziert mit 2, und das passiert beim Ableiten.
  3. \sin^2 x für falsch halten, weil es anders als im Buch aussieht. Leite es ab: Du erhältst \sin 2x, also stimmt es.
  4. 2\sin x statt \sin 2x schreiben. \sin 2x = 2\sin x\cos x, nicht 2\sin x.

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Häufig gestellte Fragen

Was ist das Integral von sin 2x?
Das Integral von \sin 2x ist -\frac{1}{2}\cos 2x + C.

Warum bekomme ich beim Integrieren von sin 2x das Ergebnis sin² x?
Wenn du \sin 2x = 2\sin x\cos x schreibst und u = \sin x verwendest, erhältst du \sin^2 x + C. Das ist ebenfalls richtig, denn \sin^2 x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x unterscheidet sich von -\frac{1}{2}\cos 2x nur um die Konstante \frac{1}{2}.

Was ist das Integral von sin 2x von 0 bis π/2?
Es ist \left[-\frac{1}{2}\cos 2x\right]_0^{\pi/2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1.

Was ist das Integral von 2 sin x cos x?
Es ist dasselbe Integral, da 2\sin x\cos x = \sin 2x ist. Richtig ist jedes von -\frac{1}{2}\cos 2x, \sin^2 x oder -\cos^2 x, jeweils plus C.

Geschrieben vom PracticeCalculus-Team

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