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Intégrales trigonométriques

Intégrale de sin 2x : formule, démonstration et exemples

L'intégrale de sin 2x vaut -cos(2x)/2 + C. Le changement de variable, pourquoi sin² x + C et -cos² x + C sont aussi corrects, et des intégrales définies.

Intégrales trigonométriques Mis à jour Lecture : 3 min

En bref

\int \sin 2x\,dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + C
Primitive
-\dfrac{1}{2}\cos 2x + C
Également correct
\sin^2 x + C ou -\cos^2 x + C
Méthode
u = 2x, du = 2\,dx
De 0 à π/2
1
Forme générale
\int\sin(kx)\,dx = -\dfrac{1}{k}\cos(kx) + C
Sur cette page
  1. Graphique de sin 2x et de sa primitive
  2. Démonstration par changement de variable
  3. Vérification par dérivation
  4. Trois réponses correctes
  5. Intégrales définies
  6. Exemples corrigés
  7. Erreurs fréquentes

L'intégrale de \sin 2x est -\dfrac{1}{2}\cos 2x + C. C'est l'intégrale de sin x avec une étape de plus pour traiter le 2 à l'intérieur.

\int \sin 2x\,dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + C

Graphique de sin 2x et de sa primitive

Aire sous y = sin 2x de 0 à π/2, avec la primitive y = -cos(2x)/2
L'arche hachurée a une aire de 1, la moitié de l'aire sous une arche de \sin x, car elle est comprimée à la moitié de la largeur. La primitive en pointillés monte de -\frac{1}{2} à \frac{1}{2}.

Démonstration par changement de variable

  1. Poser u = 2x. Alors du = 2\,dx, donc dx = \frac{1}{2}du.
  2. Substituer : \displaystyle\int\sin 2x\,dx = \frac{1}{2}\int\sin u\,du.
  3. Intégrer : \frac{1}{2}(-\cos u) + C.
  4. Remplacer u = 2x : -\frac{1}{2}\cos 2x + C.

Les mêmes étapes donnent la règle générale \int\sin(kx)\,dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C. Voir la page du changement de variable.

Vérification par dérivation

\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2}\cos 2x\right) = -\frac{1}{2}\cdot(-\sin 2x)\cdot 2 = \sin 2x \checkmark

Le facteur 2 de la dérivation en chaîne compense le \frac{1}{2}. Le sens direct se trouve sur la page dérivée de sin 2x.

Trois réponses correctes

Avec la formule de duplication \sin 2x = 2\sin x\cos x :

  • Avec u = \sin x, du = \cos x\,dx : \int 2u\,du = \sin^2 x + C.
  • Avec u = \cos x, du = -\sin x\,dx : \int -2u\,du = -\cos^2 x + C.

Ces réponses semblent différentes de -\frac{1}{2}\cos 2x, mais elles ne le sont pas. Comme \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 :

-\frac{1}{2}\cos 2x = \sin^2 x - \frac{1}{2} = -\cos^2 x + \frac{1}{2}

Les trois réponses ne diffèrent donc que par des constantes. C'est permis : le +C absorbe la différence. Cela explique aussi pourquoi la dérivée de sin² x vaut \sin 2x.

Intégrales définies

\int_0^{\pi/2}\sin 2x\,dx = -\frac{1}{2}\cos\pi + \frac{1}{2}\cos 0 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1
\int_0^{\pi/4}\sin 2x\,dx = -\frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}
\int_0^{\pi}\sin 2x\,dx = 0

Pour une intégrale définie, les trois formes de la primitive donnent le même nombre, car la constante disparaît dans la soustraction.

Exemples corrigés

Exemple 1. \int(\sin 2x + \cos 2x)\,dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{2}\sin 2x + C.

Exemple 2. \int 6\sin 3x\,dx = 6\cdot\left(-\frac{1}{3}\cos 3x\right) + C = -2\cos 3x + C.

Exemple 3 : sin 2x cos x. On réécrit 2\sin x\cos^2 x et on pose u = \cos x :

\int\sin 2x\cos x\,dx = -\frac{2}{3}\cos^3 x + C

Vérification : \frac{d}{dx}\left(-\frac{2}{3}\cos^3 x\right) = 2\cos^2 x\sin x = \sin 2x\cos x.

Exemple 4 : sin 2x cos 2x. On utilise \sin 2x\cos 2x = \frac{1}{2}\sin 4x, donc l'intégrale vaut -\frac{1}{8}\cos 4x + C.

Erreurs fréquentes

  1. Répondre -\cos 2x + C. Vous avez oublié le \frac{1}{2}. Sa dérivée vaut 2\sin 2x.
  2. Répondre -2\cos 2x + C. Cela multiplie par 2, ce que ferait une dérivation.
  3. Croire que \sin^2 x est faux parce que le manuel donne autre chose. Dérivez-le : vous obtenez \sin 2x, donc c'est juste.
  4. Écrire 2\sin x pour \sin 2x. \sin 2x = 2\sin x\cos x, et non 2\sin x.

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Questions fréquentes

Quelle est l'intégrale de sin 2x ?
L'intégrale de \sin 2x est -\frac{1}{2}\cos 2x + C.

Pourquoi est-ce que j'obtiens sin² x en intégrant sin 2x ?
Si vous écrivez \sin 2x = 2\sin x\cos x et posez u = \sin x, vous obtenez \sin^2 x + C. C'est aussi correct, car \sin^2 x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x, qui ne diffère de -\frac{1}{2}\cos 2x que par la constante \frac{1}{2}.

Combien vaut l'intégrale de sin 2x entre 0 et π/2 ?
Elle vaut \left[-\frac{1}{2}\cos 2x\right]_0^{\pi/2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1.

Quelle est l'intégrale de 2 sin x cos x ?
C'est la même intégrale, puisque 2\sin x\cos x = \sin 2x. Au choix -\frac{1}{2}\cos 2x, \sin^2 x ou -\cos^2 x, plus C.

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