Integral de x eˣ: fórmula, passo a passo e exemplos

A integral de xe^x é (x - 1)e^x + C. É o primeiro exemplo padrão de integração por partes: uma potência de x vezes uma exponencial.

Gráfico de x eˣ e de sua primitiva

Como integrar x eˣ passo a passo

A fórmula da integração por partes é \int u\,dv = uv - \int v\,du.

1. Escolha as partes. Seja u = x e dv = e^x\,dx.
2. Ache du e v. du = dx e v = e^x.
3. Aplique a fórmula. \int xe^x\,dx = xe^x - \int e^x\,dx
4. Resolva a integral fácil. \int e^x\,dx = e^x, então \int xe^x\,dx = xe^x - e^x + C = (x-1)e^x + C

Por que u = x? O objetivo é uma integral restante mais simples. Derivar x dá 1, então o x some depois de um passo. A regra LIATE (Logarítmicas, Inversas trigonométricas, Algébricas, Trigonométricas, Exponenciais) diz o mesmo: as algébricas vêm antes das exponenciais, então x é o u.

E se você escolher ao contrário? Com u = e^x e dv = x\,dx, você obtém \frac{x^2}{2}e^x - \int\frac{x^2}{2}e^x\,dx. A potência de x subiu, então o problema piorou.

Verificação por derivação

A regra do produto devolve exatamente o integrando. A página da derivada de x eˣ mostra o sentido direto.

Integrais definidas

De 0 a 1:

De −∞ a 0: quando x \to -\infty, (x-1)e^x \to 0 porque a exponencial vence. Então

A resposta é negativa porque xe^x < 0 para x < 0.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: uma exponencial mais rápida. \int xe^{2x}\,dx. Seja u = x, dv = e^{2x}\,dx, então v = \frac{1}{2}e^{2x}:

Em geral, \int xe^{kx}\,dx = \left(\frac{x}{k} - \frac{1}{k^2}\right)e^{kx} + C.

Exemplo 2: decaimento. Com k = -1, a fórmula geral dá \int xe^{-x}\,dx = (-x - 1)e^{-x} + C = -(x+1)e^{-x} + C. De 0 a \infty isso vale 0 - (-1) = 1. Esse é o tempo médio de espera na distribuição exponencial de taxa 1.

Exemplo 3: um fator linear. \int(3x + 2)e^x\,dx. Com u = 3x + 2, du = 3\,dx:

Exemplo 4: uma potência maior. Para x^2e^x, use partes duas vezes. O resultado é (x^2 - 2x + 2)e^x + C, mostrado na página da integral de x² eˣ.

Erros comuns

1. Integrar fator por fator. \int xe^x\,dx \ne \frac{x^2}{2}e^x. A integral de um produto não é o produto das integrais.
2. Escolher u = e^x. A integral que sobra passa a ter x^2, o que é mais difícil.
3. Um deslize de sinal no último passo. É xe^x - \int e^x\,dx, então o termo e^x é subtraído. Confira derivando.
4. Esquecer o \frac{1}{k} em e^{kx}. Com e^{2x}, v = \frac{1}{2}e^{2x}, e não e^{2x}.

Para mais prática, veja o guia de integração por partes e os exercícios de integração por partes.