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Produits et intégration par parties

Intégrale de x eˣ : formule, méthode et exemples

L'intégrale de x eˣ vaut (x − 1)eˣ + C. L'intégration par parties pas à pas, pourquoi u = x est le bon choix, un graphique et des exemples comme x e^(2x).

Produits et intégration par parties Mis à jour Lecture : 3 min

En bref

\int x e^x\,dx = (x - 1)e^x + C
Primitive
(x-1)e^x + C
Méthode
Intégration par parties avec u = x, dv = e^x\,dx
De 0 à 1
1
Avec e^(kx)
\int xe^{kx}\,dx = \left(\frac{x}{k} - \frac{1}{k^2}\right)e^{kx} + C
Sur cette page
  1. Graphique de x eˣ et de sa primitive
  2. Comment intégrer x eˣ pas à pas
  3. Vérification par dérivation
  4. Intégrales définies
  5. Exemples corrigés
  6. Erreurs fréquentes

L'intégrale de xe^x est (x - 1)e^x + C. C'est le premier exemple classique d'intégration par parties : une puissance de x multipliée par une exponentielle.

\int x e^x\,dx = xe^x - e^x + C = (x-1)e^x + C

Graphique de x eˣ et de sa primitive

y = x eˣ et sa primitive (x − 1)eˣ
L'aire hachurée de 0 à 1 vaut exactement 1. La primitive en pointillés a son minimum en x = 0, où xe^x passe du négatif au positif.

Comment intégrer x eˣ pas à pas

La formule d'intégration par parties est \int u\,dv = uv - \int v\,du.

  1. Choisir les facteurs. Posons u = x et dv = e^x\,dx.
  2. Trouver du et v. du = dx et v = e^x.
  3. Appliquer la formule. \int xe^x\,dx = xe^x - \int e^x\,dx
  4. Terminer l'intégrale facile. \int e^x\,dx = e^x, donc \int xe^x\,dx = xe^x - e^x + C = (x-1)e^x + C

Pourquoi u = x ? Le but est d'obtenir une intégrale restante plus simple. En dérivant x, on obtient 1, donc le x disparaît en une étape. La règle LIATE (Logarithme, Inverse trigonométrique, Algébrique, Trigonométrique, Exponentielle) dit la même chose : l'algébrique passe avant l'exponentielle, donc x est u.

Et si on choisit l'inverse ? Avec u = e^x et dv = x\,dx, on obtient \frac{x^2}{2}e^x - \int\frac{x^2}{2}e^x\,dx. La puissance de x a augmenté, le problème s'est aggravé.

Vérification par dérivation

\frac{d}{dx}\Big((x-1)e^x\Big) = 1\cdot e^x + (x-1)e^x = xe^x

La règle du produit redonne exactement la fonction de départ. La page dérivée de x eˣ montre le sens direct.

Intégrales définies

De 0 à 1 :

\int_0^1 xe^x\,dx = \Big[(x-1)e^x\Big]_0^1 = 0\cdot e - (-1)\cdot 1 = 1

De −∞ à 0 : quand x \to -\infty, (x-1)e^x \to 0 car l'exponentielle l'emporte. Donc

\int_{-\infty}^{0} xe^x\,dx = (0 - 1)e^0 - 0 = -1

Le résultat est négatif car xe^x < 0 pour x < 0.

Exemples corrigés

Exemple 1 : une exponentielle plus rapide. \int xe^{2x}\,dx. Posons u = x, dv = e^{2x}\,dx, donc v = \frac{1}{2}e^{2x} :

\int xe^{2x}\,dx = \frac{x}{2}e^{2x} - \frac{1}{2}\int e^{2x}\,dx = \frac{x}{2}e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C

En général, \int xe^{kx}\,dx = \left(\frac{x}{k} - \frac{1}{k^2}\right)e^{kx} + C.

Exemple 2 : décroissance. Avec k = -1, la formule générale donne \int xe^{-x}\,dx = (-x - 1)e^{-x} + C = -(x+1)e^{-x} + C. De 0 à \infty, cela vaut 0 - (-1) = 1. C'est le temps d'attente moyen de la loi exponentielle de paramètre 1.

Exemple 3 : un facteur affine. \int(3x + 2)e^x\,dx. Avec u = 3x + 2, du = 3\,dx :

(3x+2)e^x - 3e^x + C = (3x - 1)e^x + C

Exemple 4 : une puissance plus élevée. Pour x^2e^x, on intègre deux fois par parties. Le résultat est (x^2 - 2x + 2)e^x + C, détaillé sur la page intégrale de x² eˣ.

Erreurs fréquentes

  1. Intégrer facteur par facteur. \int xe^x\,dx \ne \frac{x^2}{2}e^x. L'intégrale d'un produit n'est pas le produit des intégrales.
  2. Choisir u = e^x. L'intégrale restante contient alors x^2, ce qui est plus difficile.
  3. Une erreur de signe à la dernière étape. C'est xe^x - \int e^x\,dx, donc le terme e^x est soustrait. Vérifiez en dérivant.
  4. Oublier le \frac{1}{k} pour e^{kx}. Avec e^{2x}, v = \frac{1}{2}e^{2x}, et non e^{2x}.

Pour vous entraîner davantage, voir le guide de l'intégration par parties et les exercices sur l'intégration par parties.

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Questions fréquentes

Quelle est l'intégrale de x eˣ ?
C'est (x - 1)e^x + C, ou xe^x - e^x + C.

Quelle est l'intégrale de x e^(2x) ?
C'est \frac{x}{2}e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C. On intègre par parties avec u = x et dv = e^{2x}\,dx, donc v = \frac{1}{2}e^{2x}.

Quelle est l'intégrale de x e^(−x) ?
C'est -(x+1)e^{-x} + C. De 0 à \infty, l'intégrale vaut 1.

Peut-on utiliser un changement de variable pour x eˣ ?
Non. Un changement de variable exige que la dérivée de l'intérieur apparaisse en facteur, et il n'y a pas de fonction intérieure ici. C'est un produit de deux fonctions sans lien, exactement le cas de l'intégration par parties.

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